Poutres continues : rotules plastiques, redistribution et limites des analyses élastiques

Analyse structurale élastique, à redistribution limitée, et analyse plastique. Etude sur un exemple, vérification de la ductilité et limite de ces modèles

Cet article présente les quatre méthodes d’analyse structurale proposées par l’Eurocode 2 pour les poutres continues, et montre comment les approches simplifiées (élastique, redistribution limitée, plastique) contournent volontairement la recherche de la solution exacte.

Il expose les mécanismes de formation des rotules, les conditions de validité des redistributions, la vérification de la rotation plastique, ainsi que les biais des modèles linéaires lorsque la fissuration et la perte d’inertie deviennent prépondérantes.

Enfin, il met en lumière les dissonances possibles entre analyse simplifiée et comportement réel, notamment pour les flèches, les effets du second ordre et les redistributions à l’ELS.

Ce sujet constitue la dernière partie de notre dossier consacré au comportement flexionnel des poutres en béton armé (4/4).

 

Retour vers l'article précédent : Structures hyperstatiques : la solution unique compatible en déformations 

 

 

Les 3 méthodes simplifiées de l’eurocode 2

 

Le domaine des poutres continues est le cas d’usage de systèmes hyperstatiques le plus couramment calculé en Bâtiment. Pour cet usage, l’eurocode 2 mentionne 4 méthodes d’analyse structurale :

• Analyse élastique linéaire (§5.4)
• Analyse élastique-linéaire avec redistribution limitée des moments (§5.5)
• Analyse plastique (§5.6)
• Analyse non linéaire (§5.7)

La méthode placée en dernier, l’analyse non-linéaire, correspond au cas général présenté dans l’article précédent. Elle est très peu développée dans l’eurocode 2, très peu utilisée dans la pratique, car complexe à implémenter et consommatrice en calcul.

On y retrouve la notion de non-linéarité de matériau et de la nécessité de la compatibilité des déformations, et le caractère général de cette approche qui peut être utilisée à l’ELS, l’ELU, au 1^Er ordre et au 2^e ordre, à l’inverse des 3 autres méthodes.

 

 

Comme évoqué dans le premier article consacré à la logique d’ensemble du calcul, le texte de l’Eurocode 2  prévoit 3 autres méthodes beaucoup plus simples, qui sont des méthodes linéaires approchées contournant la recherche de la solution exacte et dont l’objectif est précisément de rendre le calcul accessible dans la pratique en supprimant l’itérativité des calculs.

L’eurocode 2 admet ainsi le recours à :

• Une analyse structurale élastique-linéaire, pour laquelle on suppose les sections élastiques, linéaires, non fissurées, et non armées. L’eurocode 2 ne prévoit aucune vérification de la compatibilité des déformations, quelque soit le ferraillage mis en œuvre, quelque soit la fissuration des sections et quelque soit la plastification des aciers dans les sections critiques.

• Une analyse plastique, où l’on positionne quelques « rotules » le long de la poutre élastique, ponctuelles, fictives, résistant à un moment ultime déterminé, quelque soit la rotation subie. Le positionnement de chaque rotule revient à enlever 1 degré d’hyperstatisme de la poutre et à remplacer les équations qui régissent la continuité de la poutre, par des moments imposés aux tronçons de part et d’autre.
  On peut ainsi positionner des rotules tant que les tronçons formés entre 2 rotules successives restent à minima isostatiques. Ces tronçons restent individuellement modélisés comme élastiques, linéaires, non fissurées, et non armés.

• Une analyse à redistribution limitée, qui n’est autre qu’un cas particulier de l’analyse plastique où l’on a positionné les rotules plastiques sur tout ou partie des appuis intermédiaires.

 

 

La prise en compte de tronçons de poutres plastifiés dans l’analyse structurale ELU

 

Du point de vue des lois de comportement des sections de béton armé, les méthodes simplifiées de l’EC2 reviennent d’une manière générale à remplacer les relations non linéaires courbure-moment des sections par des droites, comme indiqué ci-dessous :

 

 

Comme on le voit sur le graphe, de fait l’analyse élastique linéaire va invisibiliser totalement les effets de redistribution pouvant se produire du fait de la forte perte d’inertie des sections au voisinage des sollicitations maximales ultimes : celles-ci disparaissent tout bonnement au profit d’un comportement élastique à l’infini.

Pourtant, dans une analyse ELU, des zones plastiques peuvent naître dans les tronçons les plus sollicités, ou bien dans les zones qui ont été volontairement sous ferraillées.

Ces zones où les aciers sont concrètement entrés dans leur palier plastique, peuvent s’établir sur une largeur de 1 à 2x la hauteur de la section. L’inertie peut y être divisée par 10 pour les poutres et même jusqu’à 100 dans les dalles, ce qui conduit à de fortes variations de la rotation de la section de part et d’autre de ces tronçons, inexplicables par les modèles élastiques.

Afin de corriger ce biais et intégrer de façon simplifiée le phénomène dans l’analyse structurale, l’eurocode 2 propose la notion de rotule plastique, qui peut s’illustrer sur la loi courbure-moment précédente par une phase plastique idéalisée au voisinage du moment ultime, venant terminer la phase élastique, comme l’illustre le graphe ci-dessous.

 

 

Dans l’analyse structurale, on introduit ponctuellement une rotule, c’est-à-dire une discontinuité ponctuelle de rotation de la section, ayant pour effet de libérer un degré d’hyperstatisme à la poutre et de le remplacer par un moment imposé de part et d’autre, de valeur Mua.

L’introduction d’une rotule plastique dans l’analyse structurale nécessite de vérifier dans un deuxième temps, si l’écart de rotation apparu entre un côté et l’autre, est raisonnable et encaissable physiquement par le tronçon de poutre plastifié représenté : on parle de vérification de la compatibilité de la déformation, ou encore de vérification de la capacité de rotation de la section. Des formulations alternatives telles que : capacité d'ouverture de la rotule, capacité de courbure de la section, ou capacité de rotation du tronçon plastique peuvent être avantageuses pour la compréhension.

Concrètement, les critères de l’eurocode 2 limitent la profondeur admissible de l’axe neutre de la section, de manière à ce que l’équilibre de la section fonctionne avec une plastification significative des aciers tendus.

 

 

L’analyse structurale ELU d’une dalle à 2 travées

 

Ces 3 méthodes d’analyse structurale simplifiée, purgées des itérations que requerrait une résolution exacte, permettent de procéder selon le principe séquentiel de l’eurocode 2 : étape 1 : « analyse structurale,  étape 2 « calcul des sections », puis étape 3 « vérification des critères  ELS » pour les structures hyperstatiques, de la même façon que pour des poutres isostatiques.

Le présent chapître illustre le cheminement du dimensionnement sur l’exemple d’une dalle à 2 travées.

 

Des poutres élastiques reliées par des rotules plastiques

 

La dalle est de degré d’hyperstatisme 1. Nous nous plaçons dans le cas de l’analyse plastique ELU en plaçant un rotule plastique sur l’appui intermédiaire, ce qui nous ramène à l’analyse de 2 dalles isostatiques chargées transversalement et par un moment sur 1 de leurs appuis.

 

 

• Comme vu précédemment, l’ingénieur établit tout d’abord un modèle élastique linéaire de la poutre (non fissuré non armé).
• La situation de chargement ELU « toutes travées chargées » lui permet de déterminer le moment maximal sur appui selon le modèle élastique linéaire soit ici 67kNm (on suppose un appui monolithique de 20cm de large).

Conformément au résultat classique de la RDM d’une poutre sur 2 travées, le moment sur appui intermédiaire est très supérieur au moment en travée (67 kNm contre 39 kNm).

Cette valeur, très importante, est cependant un biais de l’analyse élastique linéaire, qui suppose par simplification, un comportement élastique à l’infini des sections : c(M)=M/EI, quelque soit la valeur du moment.

En réalité, à l’ELU, ce pic de moment sur appui fait entrer les sections au voisinage de cet appui, dans le domaine plastique, conduisant à une perte importante d’inertie dans cette zone. Cette perte d’inertie va entraîner inévitablement une redistribution des moments vers les travées. En réalité, la dalle ne verra jamais les 67kNm, même si on la ferraille pour résister à 67kNm.

Afin d’être plus proche de la réalité physique et optimiser son ferraillage, l’ingénieur corrige son approche élastique linéaire à l’aide d’une rotule plastique placée sur l’appui intermédiaire, permettant d’abaisser la valeur de ce moment sur appui et comprimer l’enveloppe des moments ELU.

Il fixe la valeur de la rotule plastique à 45kNm, ce qui représente un abattement du moment sur appui de 30%.

S’en suit l’étalissement de l’enveloppe des moments ELU. Pour chaque distribution successive de chargement, le modèle élastique linéaire est d’abord utilisé (sans rotule). Une discussion s’impose à chaque cas :

• si le moment sur appui obtenu avec le modèle élastique reste <45kNm, la rotule ne s’active pas, la section reste dans sa phase élastique en tous points, la courbe de moment n’est pas redistribuée
• si le moment sur appui obtenu est > 45kNm, la rotule est activée, la courbe des moments est redistribuée en limitant à 45kNm la valeur du moment sur appui

On obtient in fine le schéma d’enveloppe suivant, qui permet d’en déduire le ferraillage associé.

 

 

NB : l’introduction de la rotule plastique conduit à un gain de 46% de la section d’aciers sur appui et une perte de 6% de la section d’acier en travée. La stratégie est donc très intéressante en consommation d’acier.

 

Vérifier simplement la capacité d'ouverture des rotules plastiques

 

Dans l’analyse structurale, nous avons postulé à une rotule plastique limitant à 45kNm le moment sur appui, ce qui se traduit par une discontinuité de la rotation de part et d’autre du tronçon de dalle plastifié, représentée par la rotule.

Pour valider ce dimensionnement ELU, il nous reste à vérifier que la section de béton armé prévue dans cette zone plastifiée, peut effectivement de subir cette variation brutale de rotation tout en continuant de résister aux 45kNm, conformément à l’EC2 §5.6.1 (2)P.

Nous avons 3 solutions pour valider notre approche :

• On peut s’apercevoir que l’analyse plastique réalisée ici, avec une rotule sur l’appui intermédiaire, n’est autre qu’une analyse à redistribution limitée. On peut donc appliquer le critère 5.10a.

La redistribution recherchée ici vaut δ = M_PL/M_EL=0,7. Après redistribution, μ = 0,106, x_u/d = 0,14.  Par ailleurs k₁=0,44. k₂=1,25, k5 =0,7 on obtient  pour critère de validité δ ≤ max(0,61,0,7)=0,7  =>  OK.

• On peut aussi appliquer le 5.6.2(2) : le x_u/d est suffisamment faible, les armatures sont de classe B, et le rapport des moments sur appui et moments en travée est proche de 1 => OK

• On peut enfin vérifier explicitement la rotation plastique siegeant dans la rotule, et la comparer aux limites proposées, selon 5.6.3

 

 

La vérification explicite de la capacité de rotation selon EC2 §5.6.3

 

La rotule plastique a donc cassé l’hyperstatisme d’ordre 1 du système.

Pour chaque situation de chargement, on peut dès lors analyser :

• la première travée, devenue une dalle isostatique élastique sur 2 appuis, sollicitée par un chargement linéique + un moment sur appui à droite (le moment plastique) => la rotation de cette première travée sur l’appui droit est calculée sans difficulté : ϑ_g
• la deuxième travée, qui de la même façon est analysée pour déterminer la rotation de cette seconde travée sur l’appui gauche ϑ_d

Selon l’analyse structurale, la rotation apparue dans le rotule plastique vaut alors  δϑ = ϑd – ϑg.

On doit se souvenir du process séquentiel de l’eurocode 2, qui prévoit une évaluation des déformations et des déplacements à l’étape 1 « analyse structurale », avec des lois de comportement moyennes, et non à l’étape 2 « calcul des sections », avec des lois de comportement « sécuritaires » ou de calcul.

Bien que nous soyons à l’ELU, nous cherchons donc la rotation de section la plus probable (moyenne) et devons donc utiliser les lois de comportement moyennes et non pas « de calcul ». C’est ce que précise (EC2 §5.6.3 (3)).

Dans la même logique, on devrait intégrer dans l’étude de ϑ_g et ϑ_d :

• la participation du béton tendu dans chaque travée
• la notion de fissuration progressive
• la plastification possible

Cependant, selon la formulation du texte de l’Eurocode 2, le §5.6.3 s’inscrit tacitement dans le contexte de l’analyse plastique §5.6 ou de la redistribution limitée §5.5, qui supposent les sections de poutres élastiques et linéaires à l’infini entre les rotules. L’EC2 n’est pas explicite sur ce point mais on peut supposer que les abaques 5.6(N), qui fixent les rotations admissibles, aient donc été établis en cohérence avec cette hypothèse.

Pour résumer les dispositions à prendre pour appliquer §5.6.3, dans le calcul des rotation ϑ_g et ϑ_d, on devra :

• négliger la présence des aciers
• ignorer la fissuration des sections
• supposer les sections élastiques a l’infini, de module E_cm.

Admettons que le calcul de la discontinuité de rotation de la poutre au droit de la rotule plastique donne δϑ = 20mrad. On applique alors §5.6.3 :

• On évalue la distance entre le moment max (x=6,1m) et le point de moment nul (x=7,1m) = 1m, ce qui donne λ=1/0,16=6,25 et k_λ = 1.44 selon EC2 (5.11N).
• On lit ensuite sur la figure 5.6 N la rotation plastique admissible fonction de x_u/d=0,14 : θ_pl,d=14mrad
• On corrige cette valeur à partir du coefficient k_λ , θ_pl,d=20 mrad => le critère est vérifié

 

Approche selon le futur EC2

Le futur EC2 retouche l'approche de ce sujet : dans l'évaluation de ϑ_g et ϑ_d , il impose la prise en compte de la fissuration dans les travées adjacentes, ce qui est plus proche des fondamentaux de l'EC2. L'abaque 5.6(N) indiquant les rotations admissibles est remplacée par une formule explicite (7.18), dont on déduit plus explicitement qu'elle a été calibrée avec cette hypothèse. A noter que  le futur EC2 propose également dans l'analyse élastique linéaire à l'ELU, en §7.3.1(3), de tenir compte des rigidités réduites  si des fissurations sont "attendues" dans les situations de chargement considérées.

 

La plastification de la zone d’appui selon le calcul exact

 

L’utilisation d’un outil de calcul type méthode générale intégrale (MGI) permet de déterminer la solution non linéaire exacte sur la base d’une distribution de ferraillage. A la différence de l’analyse plastique, la non linéarité de la poutre est déterminée tout au long de celle-ci. Au voisinage de l’appui intermédiaire, le résultat peut être schématisé comme suit :

 

 

On constate sur ce graphe les éléments suivants :

• Le moment plastique vaut 47kNm
• La plastification des aciers, c’est-à-dire la rotule plastique, s’étend sur 30cm de large (1,5h)
• La rotation de la poutre, entre les 2 extrémités de la zone plastifiée, vaut 30 mrad
• Cette rotation est la somme :
  • d’une rotation « élastique » de 15 10^-3 m^-1 x 0,30 = 4,5mrad, rotation qu’aurait vu la poutre en l’absence de plastifiation, et
  • de la rotation « plastique » θ_s = 85 10^-3 m^-1 x 0,30 = 25,5mrad, qui est le supplément de rotation lié à la plastification

 

 

 

Les dissonances de l’eurocode 2 sur la compatibilité des déformations

 

Certains cas d’usage laissent apparaître les limites auxquelles conduisent le contournement de la recherche de la solution exacte de l’analyse structurale, l’utilisation des hypothèses simplifiées de type §5.4 à §5.6, ou encore l'application du process étape 1 : analyse structurale, étape 2 : calcul de sections.

 

Le calcul des flèches des poutres continues

 

L’utilisation de l’une des 3 méthodes d’analyse structurale simplifiée, et/ou d’un processus séquentiel explicite (non itératif), ne permettent pas de déterminer rigoureusement la flèche d’une poutre continue.

Considérons que l’on a déterminé les sollicitations {NT,M} dans une analyse structurale simplifiée type élastique linéaire §5.4. La démarche consistant à déterminer dans un deuxième temps, les inerties progressivement fissurées le long d’une travée, en vue de réaliser une double intégration à partir des courbures, ne peut aboutir rigoureusement à la flèche que pour une poutre isostatique.

Dans le cas d’une poutre continue, la situation déformée f(x) ainsi calculée a peu de chance d’être appuyée sur les 2 appuis !  Car  la continuité de déformation, sur l’appui intermédiaire d’une poutre, impacte de façon très significative la distribution des moments et la déformation des travées adjacentes. L’absence d’itérations sur la détermination des sollicitations compromet la compatiblité des rotations entre les travées, au droit des appuis.

 

Le calcul de sections suite une analyse structurale non-linéaire

 

L’analyse structurale non linéaire détermine la solution « exacte », c’est à dire  conforme en toutes sections de la poutre continue avec les lois de comportement des matériaux béton et de l’acier définies dans l’EC2  : contribution du béton tendu, fissuration progressive, plastification du béton et des aciers…

Dans un cas comme le précédent sur la dalle à 2 travées, cette analyse structurale dicte le moment redistribué exact de la section sur appui à l’ELU : 47kNm, en fonction de son ferraillage et des propriétés des matériaux.

Si nous essayons de nous replacer dans le schéma de l’eurocode 2 :

• étape 1 : analyse structurale,
• étape 2 : calcul de sections (« design »)

Nous venons de faire l’étape 1 et basculons à l’étape 2 pour vérifier la résistance de la section sur appui sous ce moment 47kNm.

Mais, selon l’EC2, les lois de matériaux de l’étape « design » sont plus défavorables que les lois de matériaux de l’étape « structural analysis », on constatera que la section proposée ne résiste alors qu’à un moment ultime de 45kNm et ne passe pas pour 47kNm.

On devrait alors renforcer la section d’acier en « chapeau »  de la poutre pour qu’elle résiste à 47kNm, et donc relancer l’analyse structurale avec ce nouveau ferraillage, le process se reproduisant à l’infini en diminuant à chaque fois la redistribution sur appui…

Deux solutions sont possibles pour rendre ce process de design convergent :

• admettre une « surtension » acceptable dans la justification ELU, pour les sections de béton armé dont le moment a été redistribué
• adopter une loi unique de comportement qui s’applique à la fois à l’étape 1 et l’étape 2, et finalement fusionner les étapes

La première solution semble la meilleure pour les poutres continues afin de ne pas s’éloigner des pratiques actuelles

La seconde solution semble la meilleure pour les poteaux étudiés avec les effets du second ordre, et c’est déjà ce que propose l’Eurocode 2, comme l’indique le paragraphe à suivre.

 

 

Le calcul des poteaux en béton armé selon la méthode générale

 

La méthode générale pour le calcul des poteaux dans l’eurocode 2 nécessite l’évaluation de la compatibilité des déformations flexionnelles, et ne peut donc pas non plus suivre le schéma classique « étape 1 analyse structurale » suivi de « étape 2 calcul des sections ».

C’est pourquoi, pour ce cas d’usage, l’eurocode 2 supprime explicitement cette séquentialité et fusionne l’étape 1 « analyse structurale » et l’étape 2 « calcul des sections », en admettant un calcul itératif et une loi de comportement unique pour le béton : la courbe σ=Ecd(ε) servant à la fois l’analyse structurale et le calcul de la section.

 

La redistribution des moments « au choix de l’ingénieur »

 

Dans l’absolu, une fois la distribution de ferraillage déterminée au sein d’une poutre continue, ca n’est pas l’ingénieur qui choisit la distribution des moments entre appuis et travées, mais la compatibilité des déformation de l’ensemble des sections qui l’impose, à la fois à l’ELU et à l’ELS.

La redistribution des moments se produit :

• très majoritairement par la plastification des aciers et la création de rotules plastiques, ce qui ne peut se produire qu’à l’ELU
• plus marginalement par la fissuration des sections, lorsqu’elle se produit sur appui et non simultanément en travée, ce qui peut parfois se produire à l’ELS

Les critères de validation de la redistribution des moments selon l’eurocode 2 sont tous fondés sur la notion de capacité plastique à l’ELU des sections concernées, par l’intermédiaire d’une limitation du ratio x_u/d.

Même sans étudier de façon itérative la solution exacte compatible en déformations, ces critères permettent d’assurer une approche relativement cohérente entre l’analyse structurale ELU retenue et les choix de dimensionnement.

En revanche, lorsque l’on admet à l’ELS une redistribution des moments sur appuis dans les mêmes proportions qu’à l’ELU », le sujet devient plus ambigu, puisque cela revient à utiliser pour justification de cette redistribution, une capacité plastique de sections… alors que ces sections ne peuvent pas plastifier dans l’état limite considéré (l’ELS).

En l’absence de plastification à l’ELS, la fissuration peut parfois contribuer à une redistribution, dans le cas des dalles, lorsque la zone sur appui a fissuré tandis que les zones adjacentes en travée sont restées non fissurées. Cette condition n’est pas toujours remplie, et lorsque c’est le cas, la redistribution se fait dans des proportions moindres qu’à l’ELU car la chute d’inertie liée à la fissuration est beaucoup moins forte que celle obtenue à l’ELU par la plastification.

Dans le cas des poutres, la fissuration des sections intervient très rapidement à la mise en flexion, et le ratio entre inertie fissurée sur inertie non fissurée est de surcroît plus faible que dans le cas des dalles. Il en résulte que l’effet de redistribution à l’ELS dans les poutres est souvent impossible à démontrer.

Un calcul exact à l’ELS d’une poutre ainsi calculée, tenant compte de la fissuration progressive des sections selon l’eurocode 2, a toutes les chances de montrer que le moment sur appui ne se redistribue pas et conduit in fine au droit de l’appui à un dépassement des contraintes de compression du béton en face inférieure, de traction des aciers et d’ouverture de fissures en face supérieure. 

 

 

Ce dossier consacré à l'étude du comportement flexionnel des poutres en béton armé et dalles portant dans un seul côté se termine sur différents sujets à débats. N'hésitez pas à réagir sur le contenu de ces articles, apporter des commentaires, abonder ou proposer des corrections, dans les discussions associées  accessibles en bas de page (inscrits OpenLAB). Merci encore, à très bientôt.