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Identifier le vocabulaire et la logique séquentielle « analyse structurale → calcul des sections » pour mieux lire et comprendre le texte.
Cet article décrypte la sémantique précise utilisée par l’EC2 — analyse, calcul, actions, effets, valeurs moyennes et caractéristiques — et montre comment ces définitions structurent l’ensemble du code.
Il clarifie le fonctionnement en deux étapes (analyse structurale puis calcul des sections), et décrit les différentes lois de comportement réglementaires des matériaux associées.
Cette base conceptuelle permet de comprendre ensuite les limites entre les modèles manipulés et notamment d’aborder les enjeux de la compatibilité des déformations.
Ce sujet constitue la première partie d’un dossier consacré au comportement flexionnel des poutres en béton armé (1/4).
Le texte de l’eurocode 2 : une sémantique essentielle à décrypter
Le texte de l’eurocode 2 utilise une sémantique précise concernant un certain nombre de mots clé, qui sont utilisés tout au long des différents chapitres. Bien identifier ces mots clés, en français et en anglais, et leur acception particulière, permet d’améliorer significativement la compréhension des articles, de la logique d’ensemble et plus généralement la pratique du texte.
La suite de ce chapître propose un éclairage sur plusieurs notions fondamentales, traitées « dans le texte ».
« analyse » et « calcul »
L’Eurocode 2 est construit sur l’hypothèse selon laquelle il est possible de dissocier l’étude des systèmes en 2 étapes, en procédant successivement en :
- Une étape 1 dite d’ « analyse structurale », ou « structural analysis » en anglais
- Une étape 2 dite de « calcul des sections » ou « design of cross sections » (EC2 §5.1.1 (1)P)
Nous avons ici l’illustration d’un vocabulaire non intuitif : la distinction établie par l’eurocode 2 entre la notion d’«analyse» et la notion de « calcul » aurait pu être arbitrée dans le sens inverse, conduisant à parler de « calcul structurel » pour l’étape 1 et d’ «analyse des sections » pour l’étape 2.
Une fois connue l’acception du terme « calcul » au sens de l’eurocode 2, traduite par « design » en langue anglaise, on peut dès lors aisément comprendre que toutes les grandeurs indicées « d », (design) seront affectées à l’étape de calcul des sections et non pas à la détermination des sollicitations.
Le choix du mot « design » est un autre exemple d’arbitrage non intuitif de prime abord, « design » pouvant s’interpréter par la notion de « conception » de manière plus large, bien au-delà du seul calcul de sections.
« sollicitations », «chargements » « actions » et « effets »
Au sens de l’eurocode 2, une condition limite ou une action mécanique imposées à un système structurel comme par exemple :
- Un chargement
- Un déplacement imposé
- Une variation thermique
Ne sont pas des « sollicitations » au sens de l’eurocode 2 : ce sont des « actions ».
Dans le texte, le terme « sollicitation » désigne quant-à lui, exclusivement, l’«effet » de ces actions sur le système structurel, ce qui doit être compris comme l’ensemble des composantes du torseur interne d’un élément de structure filaire, au droit d’une section de coupure, ou bien l’une d’entre elles à savoir :
- Moment de flexion
- Moment de torsion
- Effort tranchant
- Effort normal
A noter que la notion de « sollicitations » est traduite en anglais par « action effects » ou « internal forces and moments », ce qui pour le coup est moins ambigu de prime abord.
« valeur caractéristique » et « valeur moyenne »
La distinction entre les mots clés « caractéristique » (« characteristic « ) et « moyenne » (« mean ») est un autre exemple remarquable : Nous verrons plus loin que la valeur caractéristique d’une grandeur, au sens de l’eurocode 2, est très inférieure à sa moyenne, et est utilisée notamment dans le calcul des sections, tandis que la valeur moyenne est utilisée dans l’analyse structurale.
Nous développons à suivre 2 exemples complémentaires sous forme d’extraits de l’eurocode 2, qui montrent l’importance de l’identification des différents mots clés dans la compréhension des articles.
La résistance à la traction en flexion, de calcul : fctd,fl
L’extrait concerne la résistance du béton tendu. La seule raison d’être de la phrase soulignée est d’indiquer au lecteur la possibilité d’étendre la formule proposée en (3.23) pour la valeur moyenne, à la valeur « caractéristique » de la résistance en traction du béton.
Cela signifie qu’on peut introduire une grandeur fctk0,05,fl plus favorable que fctk0,05, et par suite également la grandeur fctd,fl , dans les conditions où fctm,fl s’applique : c’est-à-dire concrètement en flexion simple ou en flexion compression. Cette règle a un impact favorable sur les longueurs des barres HA d’une poutre en flexion, ou encore sur la résistance du béton tendu dans le calcul des poteaux élancés.
La valeur moyenne des propriétés des matériaux
Cet extrait concerne les modalités de vérification de la ductilité d’une rotule plastique. Bien que les rotules plastiques ne soient envisagées qu’à l’ELU, cette phrase rappelle que la détermination des rotations, déformations et déplacements doivent être réalisées, dans l’étape d’ « analyse structurale » , sous les situations de chargement ELU, avec les propriétés Ecm, fctm, et non pas fcd, Ecd (voir le développement ci-après concernant l’analyse structurale).
Le calcul à l’eurocode 2 : une analyse structurale suivie d’un calcul des sections
Revenons donc sur le principe de calcul des structures à l’eurocode 2, fondé séquentiellement sur 2 étapes.
Le chapître 5 de l’eurocode 2 intitulé « Analyse structurale » se consacre donc à l’étape 1, tandis que le chapître 6 « état limite ultime », qui pourrait être également intitulé « Calcul des sections à l’ELU », développe l’étape 2.
Dans l’ensemble de ce dossier, nous ferons référence à cette notion d’«étape 1 » et d’« étape 2».
L’analyse structurale : déterminer les sollicitations {N,T,M} les plus probables dans une structure
L’analyse structurale prend ainsi pour données d’entrée :
- La géométrie globale du système
- Les conditions limites du système c’est-à-dire :
- Les chargements
- Les conditions d’appuis
- Les lois de comportement des matériaux
Et cherche à déterminer :
- Le cheminement des efforts et les sollicitations {N,T,M} les plus probables dans toutes les sections de béton armé des différentes barres, plaques et coques du système
- Les déformations et déplacements les plus probables de l’ensemble des éléments de la structure
- Les contraintes les plus probables dans les matériaux
Obtenir les estimations les plus proches de la réalité pour ces grandeurs suppose de sélectionner des lois de comportement les plus probables. L’analyse structurale de l’EC2 mobilise donc les lois de comportement moyennes (Ecm, fcm, fctm) et non pas les lois de calcul, plus faibles, (Ecd, fcd, fctd).
Ces lois de comportement moyennes sont à utiliser dans tous les états limites : que ce soit pour des cas de chargement ELS ou les chargements ELU. (EC2 §5.4 iii) ; figure 3.2 EC2).
Selon la même logique, l’analyse structurale se doit idéalement d’intégrer les effets qui peuvent influer sur l’inertie, les déformations, les contraintes, et les sollicitations, l’ensemble de ces notions étant liées entre elles par la nécessité de la compatibilité des déformations de l’ensemble des éléments de structure.
Doivent donc – en principe - être pris en compte dans l’analyse structurale, s’ils sont significatifs, les effets du retrait et du fluage, à l’ELU et à l’ELS (EC2 §5.4(3)).
La participation du béton tendu, et même l’évolution graduelle de la fissuration devraient également être traités à l’ELS et à l'ELU, l’évolution graduelle de la fissuration pouvant notamment être approchée par la notion de ζ-fissuration (§7.4.3(3)).
Les effets du second ordre doivent enfin être pris en compte à l’ELU (stabilité d’ensemble, sections critiques) si l’on prévoit qu’ils seront impactants, et sont le plus souvent réputés négligeables aux ELS dans le silence du texte de l’eurocode 2 sur le sujet, parfois à tort (voir partie sur les poteaux).
Il est important de souligner qu’hormis certaines caractéristiques du modèle pouvant être négligées en fonction de l’amplitude des sollicitations, la théorie de l’eurocode 2 veut que ce soit le même modèle d’analyse structurale, avec les mêmes lois de comportement des matériaux qui soit utilisé pour déterminer les sollicitations {N,T,M} et les déformations, quelque soit le type d’état limite étudié : ELS, ELU, ELUA et ELUS.
L’ingénieur expérimenté dans la pratique de l’eurocode 2 pourrait protester contre cette affirmation du « modèle d’analyse structurale unique », et soutenir que les combinaisons ELS appellent une analyse structurale basée sur des modèles de comportement élastiques, tandis que les combinaisons ELU appellent une analyse structurale basée sur des modèles de comportements bilinéaire ou parabole-rectangle. Cette perception résulte d'un "raccourci opérationnel" lié à la pratique de l'EC2 : vrai pour le calcul de sections (étape 2) mais faux pour l'analyse structurale (étape 1).
La notion de "modèle d'analyse structurale unique" peut également surprendre pour une autre raison : la pratique adopte souvent en effet un modèle élastique linéaire non fissuré pour la modélisation globale, puis un second modèle différent, intégrant par exemple la ζ-fissuration, pour la vérification des flèches: le modèle d'analyse structurale évolue donc de l'ELU à l'ELS. Là encore, il s'agit d'un "raccourci ". Pour des raisons pratiques, l'Eurocode 2 §5.4, §5.5 §5.6 autorise en effet une simplification drastique du modèle d'analyse structurale aboutissant aux sollicitations N,T,M, à l'ELU, mais c'est une dérogation au principe général de modèle d'analyse structurale unique décrit ci-avant. (voir à ce sujet un chapître suivant "Les simplifications admises pour l'analyse structurale à l'ELU").
D'une manière générale, les rappels proposés dans cet article visent à faciliter une compréhension globale du texte, à repositionner les briques successives de l'eurocode 2 des principes vers les simplifications pratiques autorisées, afin de mieux relier toutes les parties du texte entre elles, et de mieux comprendre l'application de l'eurocode 2 sur des cas d'usage sortant de la pratique courante.
Le calcul des sections : intégrer une sécurité adéquate dans la résistance des sections
Le « calcul de section », au sens de l’eurocode 2, désigne précisément le fait de :
- calculer le ferraillage et parfois la géométrie du coffrage d’une section transversale de béton armé d’un élément
- subissant la sollicitation maximale {N,T,M}, déterminée antérieurement par l’analyse structurale de l’ensemble de la structure sous la totalité des chargements ELU,
- en supposant des lois de comportement des matériaux, non plus moyennes, mais sécuritaires, pour le béton et pour l’acier.
Les lois de comportement « sécuritaires » des matériaux sont dénommées lois de calcul (ou design, en anglais), et ne sont plus indicées « m » mais « d ». Elles sont calculées par l’intermédiaire de coefficients partiels qui dépendant de l’ELU considéré : ELU, ELUS ou ELUA (EC2 §2.4.2.4).
Vérifier aux ELS la structure calculée
Le vocabulaire utilisé par l’eurocode 2 traduit la philosophie selon laquelle :
- on calcule aux ELU (avec l’étape 1 sous les chargements ELU, suivie de l’étape 2) , c’est-à-dire qu’on dimensionne les sections sur des critères de résistance de la structure, à l’aide des lois de comportement sécuritaires dédiées au « calcul des sections » (fcd,Ecd,..)
- et on vérifie ensuite le respect des critères propres aux ELS à savoir les déformations, les déplacements, les vibrations, les contraintes, les ouvertures fissures, en reprenant le modèle d’analyse structurale unique, avec les cas de charge ELS et la connaissance exhaustive des sections.
Les simplifications admises pour l’analyse structurale à l’ELU
La première utilisation du modèle d'analyse structurale au sens de l’EC2 consiste donc à déterminer les sollicitations ELU.
Cependant, tel que nous avons décrit l’analyse structurale jusqu’à maintenant, le processus établi en 2 étapes :
- analyse structurale : détermination des sollicitations
- calcul des sections
ne fonctionne pas de façon explicite.
Nous avons en effet indiqué que l’analyse structurale doit intégrer la fissuration progressive et la plastification, pour évaluer le comportement mécanique et les sollicitations les plus probables dans la structure.
Ceci implique que les sections : coffrage et aciers, soit déjà déterminées, et donc que le calcul des sections ait eu lieu avant l’analyse structurale, c’est-à-dire que le processus étape 1 -> étape 2 soit réalisé en boucle jusqu’à la convergence. C’est ce que nécessite en pratique l’analyse non linéaire EC2 §5.7.
Toutefois, l’Eurocode 2 contient un §5.4 aux hypothèses extrêmement fortes, qui simplife énormément l’analyse structurale pour le calcul ELU, et rend le processus réellement séquentiel pour la pratique courante.
Le vocabulaire employé dans le paragraphe représente à nouveau une clé de lecture essentielle :
Bien que la version française de l’EC2 utilise ici le mot « calcul », le (1) concerne bien l’analyse structurale.
En autorisant une analyse structurale linéaire élastique, l’eurocode 2 admet en particulier une simplification des lois des matériaux :
- La courbe de la loi moyenne générale σ=f(ε) du béton peut donc être remplacée par une droite infinie en direction de la compression : σ = Ec ε
- la loi bilinéaire de l’acier peut également être remplacée par σ = ES ε
Cette simplification est autorisée à la fois :
- à l’ELS, où l’approximation conduit en effet à des écarts faibles, compte tenu de l’amplitude des déformations ε autorisés dans cette état limite.
- à l’ELU, où l’on admet cette fois pouvoir négliger entièrement les effets de la plastification des aciers et du béton sur l’analyse structurale, ce qui est une approximation très forte
Le (2) ajoute des hypothèse complémentaires qui ne sont admises cette fois que pour « la détermination des sollicitations », c’est à dire que pour « l’analyse structurale à l’ELU » :
- Les sections peuvent être supposées non fissurées
- le module d’élasticité doit être le module « moyen », c’est à dire le module issu de l’approximation linéaire de la loi « moyenne » du béton : soit Ecm
Le (2) mentionne à la fois le béton et l’acier dans sa formulation, cependant une fois la section supposée non fissurée, l’existence de l’acier est considérée comme négligeable dans la pratique courante de l’analyse structurale.
Ces hypothèses (§5.4) permettent donnent toute sa cohérence à la logique du texte : le processus d’analyse structurale devient une étape autonome et préliminaire au dimensionnement des sections à proprement parler, et peut être réalisée par une modélisation globale plus ou moins complexe, abordable numériquement grâce à l’hypothèse élastique.
Les paragraphes §5.5 et §5.6, concernant « redistribution limitée » et « analyse plastique », constituent des variantes du modèle élastique linéaire défini au §5.4, dans lesquelles l’EC2 introduit, en un nombre limité de points, des mécanismes simplifiés de plastification permettant d’améliorer l’analyse structurale à l’ELU, en maintenant toutefois la possibilité du calcul explicite (étape 1-> étape 2 sans itération).
Le troisième article de ce dossier introduira les conditions de la résolution exacte du problème mécanique selon l’eurocode 2, explorant ainsi la notion d’analyse non linéaire (§5.7).
Dans le prochain article de ce dossier, nous nous intéresserons plus précisément à la modélisation du comportement du béton et des aciers selon l'eurocode 2, en fonction des phases : Lois matériaux EC2 : linéarisation des courbes et fissuration progressive