Pieu sous charge latérale selon la méthode générale EC2

Méthode générale de l’eurocode 2 appliquée aux pieux en béton : maîtrise des effets de second ordre,  des contraintes et des déplacements

Cet article propose une approche EC2 de type non linéaire (§5.7) pour le dimensionnement d’un pieu isolé sous charges latérales.

L’analyse d’un pieu isolé sous charge latérale est un cas d’usage courant, traité usuellement de façon élasto-plastique côté sol, et linéaire élastique côté pieu. Le sujet peut aussi être  vu comme l’analyse d’un poteau élancé en béton armé présentant des appuis intermédiaires élastiques.

Une fois établi le comportement du sol et notamment la profondeur de plastification, cette approche permet d’évaluer précisément les effets du second ordre, les critères de contraintes ELS et ELU  et les déformations en s’appuyant sur toute la connaissance de l’EC2.

 

Introduction de l’exemple

 

Les étapes usuelles de calcul d’un pieu sous charge latérale

 

Pour réaliser le calcul d’un pieu sous charge transversale, les bureaux d’études en fondations spéciales procèdent habituellement en 2 étapes :

La première consiste en l’analyse structurale de l’ensemble du système pieu+sol à l’ELU, utilisant les hypothèses suivantes :

• le pieu en béton armé est supposé élastique linéaire (approche §5.4 de l’EC2)
• la réaction transversale du sol est évaluée dans chacune des couches de terrain selon l’EC7, et notamment la P94-262 annexe I par exemple en France. Cette réaction est bilinéaire, élastique- plastique.

L’analyse structurale permet d’aboutir aux sollicitations M,N à considérer dans le pieu.

L’étape 2 consiste alors à effectuer le calcul de sections à proprement parler, généralement au droit des différentes sections critiques (moment maximum, arrêts de barre…), sous la forme de vérifications de sections d’acier longitudinales testées successivement.

Cette étape est réalisée via l’établissement de diagrammes d’interaction M-N dépendant du taux de ferraillage du pieu testé.

 

Approche proposée dans cet article

 

Dans cet article, nous proposons une approche différente de l’étude d’un pieu soumis à une charge latérale, en utilisant la méthode générale de l’eurocode 2.

Cette étude met l’accent sur la précision du comportement du béton armé pour permettre :

• l’évaluation réglementaire des effets du second ordre dans le pieu à l’ELU
• l’optimisation de la cage d’armatures,
• l’évaluation des contraintes et des déplacements de la tête de pieu à l’ELS,

La réaction frontale et l’effet de portance par frottement latéral du sol sont modélisés par des ressorts latéraux ou des efforts ponctuels régulièrement positionnés le long du pieu, et sont calculés à partir des hypothèses pressiométriques de sol selon la norme NF P94-262.

 

Mise en contexte de l’exemple

 

Le projet étudié

 

 

On considère un bâtiment en béton armé fondé sur 40 pieux, comprenant une infrastructure semi-enterrée subissant une pousée dissymétrique permanente du terrain.  L’intégralité de l’effort horizontal subi par le bâtiment est transféré au sol par les pieux, par l’intermédiaire de la dalle basse de 18cm jouant un rôle de diaphragme horizontal.

La dalle portée fonctionne en continuité sur des longrines disposées perpendiculairement à l’effort de poussée.

On s’intéresse au dimensionnement d’un pieu courant, dont l’analyse structurale du BET donne les actions suivantes à considérer en tête :

 

 

Le sol est constitué de limons dont les caractéristiques pressiométriques sont les suivantes :  Em=8MPa, pl*=0,8MPa,  pf* = 0,5MPa.

Les pieux sont forés à la tarière creuse avec enregistrement de paramètres et contrôle renforcé, et sont réalisés en béton XC2 C30/37 de diamètre de 52cm avec un ferraillage de 6HA16.

Les aciers sont de caractéristiques f_yk = 500MPa, classe B, et présentent un enrobage de 7cm, (béton coulés directement contre terre, EC2 § 4.4.1.3(4) ). On considère u = 10cm (distance entre le parement et l’axe des barres).

Les pieux sont réalisés après la phase de terrassements de l’infrastructure,  avec des tolérances d’implantation et d’inclinaison de : e₀ = 10cm et ϑ₀ = 2cm/ml, conformément à leur norme d’exécution.

Toutefois, aucune information n’ayant été précisée dans les documents particuliers du marché concernant la reprise de l’effet des tolérances d’exécution des pieux, ces effets sont supposés inclus dans les descentes de charges fournies, du point de vue du bureau d’études de fondations (sur le sujet des tolérances d'exécution et interfaces entre bureaux d'études, voir également : Descentes de charges sur pieux, tolérances d'exécution et rigidités d'appuis)

 

Objectifs de l’étude

 

Dans notre exemple, on cherche à vérifier les informations suivantes :

• [1] vérifier la résistance du pieu à l’ELU en évaluant l’effet éventuel de second ordre
• [2] vérification de la contrainte du béton comprimé à l’ELS CAR

 

 

Hypothèses du calcul

 

 

Hypothèses de fluage du béton et du sol

 

Les actions en jeu sur notre système sont très majoritairement des actions long terme. La descente de charge ELS d’un tel bâtiment contient environ 20% de charges variables, tout au plus, tandis que la poussée dissymétrique du terrain est une action permanente.

Pour l’évaluation du fluage du béton et du sol, on considère pour simplifier que l’ensemble des actions sont long terme (y compris les charges variables).

En ce qui concerne le béton, la NF P94-262 admet un module long terme du béton correspondant à E_cm/3 (§6.4.1 (12) ), ce qui équivaut à φ_inf = 2.

En ce qui concerne le sol, la NF P94-262 ne modifie pas la valeur du frottement latéral en fonction de la durée d’application. Pour la réaction frontale, elle donne une loi élastique-plastique valable à court terme, et propose de diviser par 2 la raideur de la partie élastique pour obtenir la loi élastique-plastique à long terme, la valeur plastique demeurant inchangée (§I.1.4). 

On retient ainsi :

• ELS QP et ELS CAR
  • module du béton 0,33 E_cm, soit φ_ef = 2
  • réaction frontale : 0,5 K_i

• ELU :
  • module du béton 0,4 E_cm soit φ_ef = 1,5
  • réaction frontale 0,57 K_i

NB : voir aussi cet article sur l’évaluation des coefficients de fluage à l’ELU.

 

Hypothèses de sol : réactions frontale et axiale sur le pieu

 

L’établissement des réactions frontales et axiales le long du pieu ne pose pas de difficulté particulière et s’effectue en suivant la NFP94-262.

Pour le frottement axial, on suppose atteinte la pleine mobilisation du frottement latéral pour chacun des états limites étudiés.

Pour la réaction frontale, on utilise une loi de réaction élastique-plastique, qui est modulée par un coefficient de fluage et par un abattement à proximité de la surface du sol.

 

Un tableur de prétraitement

 

L’outil MGI étant un outil générique, un tableur de prétraitement dédié à ce sujet prépare les données nécessaires. Il fait ainsi la passerelle entre :

• les couches de sol et leurs hypothèses pressiométriques
• les caractéristiques du pieu (diamètre, type)
• les sollicitations en tête du pieu

et les données d’entrée nécessaires au calcul du pieu à proprement parler :

• conditions limites et appuis intermédiaires élastiques le long du pieu
• chargements ponctuels le long du pieu

 

 

Par convention, l’axe x est dans l’axe du pieu, et orienté de façon descendante de x=0 (tête) à x=6,13m (pied). La discrétisation est raffinée en tête de pieu (pas de 25cm) et plus espacée en profondeur (pas d’1m).

Dans le tableau des conditions limites, on retrouve :

• Kx= « 1 » sur le point x = 6m. « 1 » signifiant une raideur infinie, pour signifier que le pieu est bloqué axialement à x=6m.
• Ky représente la rigidité latérale discrétisée
• kMz représente d’éventuelles rigidités rotationnelles (ici=0).
• a, et m représentent le cas échéant la largeur et le monolithisme des appuis. Dans cet exemple, ces notions n’étant pas pertinentes, on conserve les valeurs par défaut a=0 (appuis ponctuels) et m=0 (appui non monolithique).

Dans le tableau des chargements ponctuels, on retrouve par ailleurs :

• les sollicitations en tête de pieu
• les effets de « portance » par frottement axial Nx tout au lon du pieu.

 

L’implémentation de la plastification du sol

 

Dans cette première version du tableau, le sol est supposé élastique sur toute la hauteur, autrement dit la profondeur de plastification est nulle.

A partir d’une première simulation, sont comparées les réactions du sol (à x=0,25m, x=0,75m x=1,25m) aux valeurs plastiques r1 correspondantes. On en déduit une profondeur jusqu’à laquelle le sol doit être considéré plastifié. 

On met ainsi les tableaux à jour et on relance le calcul. 1 à 2 itérations sont suffisantes pour obtenir le modèle de sol définitif.

A titre d’exemple, ci-dessous, la profondeur de plastification a été mise à jour à 1,20m. Le tableur de prétraitement a ainsi supprimé les premiers « ressorts » et les a remplacés par des efforts horizontaux stabilisants (en rouge dans le tableau).

 

Ce tableur est proposé au téléchargement ici (inscrits OpenLAB) : 

 

 

Hypothèses pour le béton du pieu

 

Le béton du pieu est est de type C30/37 type XC2, et le pieu est foré à la tarière creuse avec enregistrement de paramètres et contrôle renforcé. On retient donc, conformément à la NF P 94-262 §6.4.1, f_ck^* = 21,2 MPa, soit :

• à l’ELU : f_cd = 16,9 MPa
• à l’ELS car : σ_c,moy = 7,6 MPa, et σ_c,max = 15,3 MPa

 

 

Utilisation de l’outil MGI

 

Séquence 1 : mise en donnée et réglage du modèle de sol

 

Initialisation de la simulation

 

La vidéo à suivre montre le paramétrage du modèle avec successivement :

• la mise en place des appuis élastiques le long du pieu depuis le tableau de prétraitement
• la remise à zéro de la flèche de construction (pas d’imperfection géométrique)
• la mise en place des chargements le long du pieu depuis le tableau de prétraitement
• le réglage de la résistance du béton f_ck = 30 MPa et du coefficient de fluage φ = 1,5
• le coffrage circulaire diamètre 52cm
• le ferraillage de 6HA16 répartis en périphérie et situés à 10cm du parement.

Ce premier jeu d’hypothèses suppose que un sol élastique toute hauteur.

 

Réglage de la profondeur de plastification

 

La première simulation aboutit à des valeurs de réactions frontales élastiques de 48, 45 et 40 kN pour les 3 premiers ressorts jusqu’à 0,63m, alors que leur seuil de plastification respectif est de 28, 31, 34 kN.

On doit donc prendre en compte une profondeur plastifiée pour représenter le comportement du sol.

On teste ainsi une profondeur de plastification de 1,20m pour la deuxième simulation. Ce choix supérieur à 0,63m devance le fait que la plastification du sol en surface va augmenter les efforts et plastifier plusieurs ressorts supplémentaires.

La deuxième simulation aboutit à des valeurs de réactions frontales élastiques de 42, 30 et 22 kN pour les 3 premiers ressorts élastiques situés entre 1,38m et 1,88m, pour des seuils de plastification de 43kN 46kN et 50kN.

On conclut la validité du modèle de sol et le passage à la séquence de dimensionnement du pieu.

 

 

Séquence 2 : dimensionnement à l’ELU

 

Le passage dans l’onglet « Local Structural Analysis and Design of Sections » permet d’étudier les contraintes de la solution « exacte », dans l’ensemble des sections du pieu, et en particulier dans la section critique.

 

Loi de comportement du béton dans le pieu et critère ELU

 

 

La contrainte ultime acceptable pour le béton comprimé vaut ici f_cd = 16,9MPa , valeur calculée selon la formule (6.4.1.2). Cette valeur dépend de fck* = 21,2 MPa et non de f_ck = 30MPa.

Le texte de la P94-262 précise par ailleurs que fck* ne doit être utilisé « que pour les états limites du béton en compression  (§6.4.1 (10) NOTE 1» ), et le guide CEREMA d’application de la norme (disponible ici), précise explicitement qu’Ecm doit être calculé à partir de fck et non de fck*.

Dans cette même logique, la loi de comportement du béton utilisée dans notre calcul est calibrée par f_ck et non par  f_ck*. Plus précisément, le module pour les faibles déformations vaut non pas E_cm mais 1/(1+φ) E_cm/ɣ_CE, et l’allure de la courbe correspond à la loi générale et non la loi parabole rectangle, conformément aux principes de la méthode générale de l’EC2.

 

Renforcement du ferraillage

 

Dans notre simulation, on constate que « l’ELU du béton en compression » n’est pas respecté au droit de la section critique : 17,7MPa > 16,9MPa.

 

 

Afin de diminuer la contrainte dans cette zone la plus sollicitée, on procède à une augmentation de ferraillage en doublant les 6HA16 par 6HA14 sur une hauteur de 2m. Dans le paramétrage, l’information dx_end = -4m permet d’arrêter 4m avant la fin du tronçon (soit à 6,13m-4m = 2,13m de profondeur).

La nouvelle analyse structurale est légèrement plus favorable, puisqu’on a renforcé la rigidité du pieu, et l’ELU du béton en compression est désormais validé dans la section critique à x=1,63m, et juste après l’arrêt de barre à x =2,13m. La contrainte est redescendue sous la limite f_cd.

NB : L’outil n’intégrant pas la notion de scellement, le plan d’exécution devra retenir des longueurs de L =2,13m + L_bd pour les 6HA14.

 

Effets de second ordre

 

Le calcul d’analyse structurale intègre les effets du second ordre, qu’il est possible de mettre en évidence en superposant les courbes sans second ordre (en bleu) sur les courbes avec second ordre (en vert).

Sur cet exemple, l’effet est loin d’être négligeable, le moment dans la section critique augmentant de  32/156 = 20%.

Ces courbes mettent également en évidence l’impact de la fissuration sur l’inertie au droit de la zone critique, la courbure augmentant beaucoup plus vite que le moment. On note également la perte d’inertie du pieu liée à l’arrêt des 6HA14 au-delà de x=2,13m (cassure dans la courbure).

 

 

En comparaison aux méthodes usuelles, l’application de la méthode générale intégrale le long du pieu permet d’établir l’analyse structurale « exacte » au sens de l’eurocode 2 :

• sans approximation sur l’inertie du pieu
• sans hypothèse sur l’allure de la déformée
• en garantissant la compatibilité des déformations, ce qui n’est pas vérifiable avec un diagramme d’interaction

 

 

Séquence 3 : vérification des contraintes à l’ELS

 

Mise à jour du modèle pour l’ELS caractéristique

 

Le calcul à l’ELS caractéristique suppose la mise à jour du prétraitement  notamment :

• mise à jour des sollicitations en tête (valeurs ELS)
• mise à jour de la portance par frottement axial
• mise à jour du coefficient Kv/Ki =0,5 pour la réaction frontale
• réinitialisation des appuis élastiques (profondeur de plastification remise à zéro).

Cette préparation permet ensuite la mise à jour du modèle de pieu :

• mise à jour du tableau des conditions limites et des appuis intermédiaires
• sélection du type d’étude : ELS
• mise à jour des chargements le long du pieu depuis le tableau de prétraitement
• mise à jour du coefficient de fluage φ = 2

La sélection du type d’étude sur ELS a pour effet de basculer les lois de comportement du béton sur les valeurs moyennes et non plus « de calcul ».

Comme précédemment, une première simulation montre un dépassement du seuil plastique du sol, cette fois pour le premier ressort seulement. La profondeur de plastification est alors recalée à 0,30m et la seconde simulation permet d’obtenir un modèle de sol valide.

 

Validation des contraintes à l’ELS

 

La loi de comportement du béton est construite pour l’ELS de la même façon que pour l’ELU, sur la base de fck et non fck*.

 

 

L’ELS du béton en compression doit respecter les contraintes σ_c,max et σ_c,moy, au droit de la surface comprimée de la section la plus sollicitée de l’élément (§6.4.1(9) NOTE 1), ce qui revient à positionner le « gabarit » ci-dessous sur le schéma de contraintes de la section en x=1,63m :

 

 

NB : l’affichage graphique des valeurs des contraintes dans les aciers est difficile à lire ici du fait de la proximité géométrique des HA16 et des HA14. Il est possible de zoomer sur la figure à la demande pour lire les valeurs.

Ce gabarit doit en pratique être également appliqué à la section qui suit immédiatement l’arrêt des 6HA14,

 

 

Les 2 schémas de contraintes de compression restent à l’intérieur du gabarit : l’ELS du béton en compression du pieu est validé.

 

 

L’outil permet de la même façon de vérifier les autres critères EC2 :  ouverture de fissures, limitation de contraintes dans les aciers, déformation du pieu

 

Rôle du ferraillage dans la vérification de f_cd , σ_c,moy et σ_c,max

 

Dans notre exemple d’un pieu sous charge latérale et en règle générale, les aciers des pieux ont une contribution majeure dans la résistance en compression de la section de béton armé. Un renfort de ferraillage en tête peut facilement faire diminuer σ_c,ELU pour valider le critère f_cd et éviter une augmentation de diamètre du pieu. Pour un pieu de 20m, 20kg d’acier permettent ainsi d’économiser 4,5T de béton.

Il en est de même à l’ELS.

Bien que les critères σ_c,moy et σ_c,max  du §6.4.1 (9) soient parfois interprétés comme des vérifications à faire en ignorant la présence d’armatures, le guide CEREMA d’application de la norme (disponible ici) arbitre ce point et vérifie bien ces critères en tenant compte des armatures (exemple 4 du guide).

Supposons un pieu en compression centrée, et ferraillé à x %. La contrainte admissible du pieu à l’ELS caractéristique peut être exprimée en fonction du critère σ_c,moy  sous la forme :

 

 

Supposons un béton C25/30 et un taux courant de charges permamentes de 80% (E_c,ef = 1,14 .10 Pa).

L’effet du ferraillage sur la contrainte admissible du pieu à l’ELS caractéristique est loin d’être négligeable :

 

 

En fonction des configurations, le ferraillage de quelques pieux peut ainsi être une stratégie intéressante pour éviter un changement de tarière, sachant qu’augmenter le diamètre conduit de-facto à une augmentation de la quantité de béton dans des proportions très importantes  :  de 122% pour les grands pieux (pieu de 920mm) et jusqu’à 153% pour les petits pieux (420mm).

Lorsque la portance par frottement latéral est significative dès les premières couches : ferrailler simplement le fût en tête, jusqu’à la profondeur ou l’équivalent de l’effort supplémentaire des aciers est repris par le frottement latéral, peut également permettre de diminuer le diamètre de tous les pieux.

Inversement, en présence de frottement négatif en surface, ferrailler les pieux permet d’absorber la sur-sollicitation du pieu en effort normal, sous réserve d’avoir poursuivi le ferraillage suffisamment profondément dans la couche de frottement positif. 

 

 

 

Conclusion de l’exemple

 

Le calcul d’un pieu sous charge latérale est un cas d’usage possible de l’outil « méthode générale intégrale », exploitant l’ensemble des hypothèses et règles de l’eurocode 2 pour le dimensionnement et l’optimisation d’un pieu, moyennant la création d’un tableur de prétraitement pour faciliter les itérations.

Ce tableur permet d’appliquer la réaction réglementaire d’un sol monocouche ou multicouche, ici dans le cas d’un pieu chargé en tête, mais il peut également être adapté pour d’autres configurations telles que la présence d’effets de groupe ou de g(z).

Une fois le modèle de sol validé, l’outil peut calculer la solution en fonction des choix de dimensionnement de l’ingénieur : longueurs,  sections des barres et caractéristiques du béton, sans nécessiter d’hypothèses sur le module, l’inertie, ou la fissuration du béton, ou encore sur l’allure de la déformée ou l’estimation d’une longueur de transfert.

En outre, le calcul utilise directement les lois de l’eurocode 2 pour obtenir les contraintes dans les matériaux et les déplacements à l’ELU et à l’ELS , ce qui dispense de l’utilisation de diagrammes d’interaction.

On a coutume de considérer que les pieux dans le sol peuvent difficilement flamber, ce qui est vrai mais qui ne rend pas pour autant les effets de second ordre négligeables. Ces derniers peuvent en effet amplifier les sollicitations à l'ELU et conduire à un dépassement des critères de contraintes fixés à l'ELU, comme c'est le cas dans notre exemple. Il peut donc être pertinent d'étudier ces effets dans le dimensionnement des pieux.

Nous verrons dans un futur exemple que l’outil permet aussi d’aborder par exemple le cas de poteaux de section quelconque encastrés dans des pieux, et soumis à différentes situations d’appuis et de chargements.