Calcul d’une dalle continue soumise au retrait gêné

Une approche pour analyser et dimensionner les ouvrages horizontaux soumis au retrait

L’Eurocode 2 est relativement précis pour déterminer l’évolution du retrait du béton au cours du temps. En revanche, il reste beaucoup plus succinct sur la manière d’intégrer ce phénomène dans un calcul de béton armé.

Or, au-delà des seules déformations, l’ingénieur est fréquemment confronté à la détermination des moments, des efforts normaux, des contraintes dans les aciers ou encore de l’ouverture des fissures, en particulier dans les configurations de retrait gêné.

L’exemple proposé ci-après montre comment la méthode générale intégrale (MGI) permet de rendre compte de phénomènes physiques souvent pressentis, mais difficilement accessibles avec les approches classiques. On y met en évidence, de façon progressive :

• l’allongement axial sous charges gravitaires,
• l’abaissement du moment de fissuration sous l’effet du retrait,
• l’augmentation des courbures et des flèches,
• ainsi que la détermination de l’effort de traction dans le cas d’un retrait gêné.

 

 

Présentation du système

 

Nous considérons dans cet article une dalle continue de 28cm en béton armé, constituée de 3 travées de 7,50m entre axes, appuyée de façon monolithique, sur des appuis de 30cm de large.

En plus de son poids propre g₀ = 700 kg/m² , la poutre supporte les charges suivantes :

• charges permanentes : g = 100kg/m²
• charges d’exploitation : q = 500 kg/m², ψ₂= 0,6.

La dalle est en C25/30, la classe d’exposition du béton est XC1, l’enrobage des aciers fixé à 2,5cm, et on suppose que le fluage à temps infini vaut ϕ_inf = 2.

Les aciers, sont de classe B 500, et le ferraillage de la dalle a été calculé à l’ELU selon une analyse élastique linéaire, sans redistribution (c’est-à-dire selon EC2 §5.4).

On admet ainsi le ferraillage suivant :

 

 

Flèche totale sous ELS QP

 

La flèche totale, examinée à long terme sous charges ELS quasi-permanentes, doit respecter le critère L/250 = 3cm.

Sur notre configuration de plancher, la situation de chargement provoquant le cas défavorable en matière de flèche est le cas chargé-déchargé-chargé.

On prévoit donc un chargement avec :

• travée 1 et 3 : chargées : (g₀ + g) + ψ₂q = 1100 kg/m²
• travée 2 : déchargée (g₀+g) = 800 kg/m²

Le paramétrage du modèle est décrit dans l’onglet input data comme suit :

 

 

L’analyse structurale donne les résultats suivants :

 

 

Cette première simulation donne une flèche de 1,5cm. Nous pouvons noter que sous cette situation de chargement, seules les sections en travée de rive fissurent.

Il en résulte que la dalle conserve globalement une bonne inertie et respecte largement le critère (1,5cm < 3cm).

 

Allongement sous charge gravitaire

 

Dans la perpective d’intégrer plus loin l’effet du retrait, on introduit dès à présent la courbe de l’allongement de la dalle sous l’effet du chargement gravitaire. La modèle prévoit un unique blocage axial au niveau de l’appui d’extrémité à droite, de sorte que le déplacement u_x de l’appui gauche montre le raccourcissement (en+) ou l’allongement (en-) axial total de la dalle. Le calcul montre ici un allongement de 0,23mm sous cette situation de chargement quasi permanente, allongement principalement du aux 2 linéaires fissurés comme le montre l’évolution de la courbe u_x(x).

Cet allongement est un phénomène normal et intrinsèque au fonctionnement du béton armé (voir également ici le développement de ce sujet en détail), et dont l’évaluation est nécessaire pour aborder ensuite les effets du retrait gêné.

 

ζ-fissuration

 

On peut examiner plus précisément l’état de fissuration de la section en travée :

 

 

Sur la représentation locale, la courbure de la section BA : c_BA  = 7,59 10^-3 m^-1 . Elle est supérieure à la courbure interne retenue pour l’analyse structurale (5,1 10^-3 m^-1).

Cette différence s’explique par le fait que sous un moment de 51kNm, la dalle « commence » seulement à fissurer, la fissuration n’est pas généralisée dans cette zone, l’eurocode 2 introduit le coefficient ζ  (formule 7.19) pour tenir compte de cette notion. Ici ζ = 0,52 (voir également ici sur le sujet de la ζ-fissuration)

 

Ouverture et espacement des fissures

 

Le calcul de l’ouverture de fissure donne pour cette même section critique,  une ouverture w_k =0,2mm et un espacement de 19cm, obtenu dans le détail comme suit :

 

Effet du retrait « non gêné ».

 

L’étude de la flèche totale est par convention réalisée à long terme, sous ELS Quasi permanent. Il est loisible d’intégrer de la même façon le retrait selon la même logique, d’autant que l’effet du retrait sur les flèches accroît les déformations des ouvrages fléchis, qu’il soit gêné ou non et indépendamment de la longueur des ouvrages.

L’eurocode 2 propose la formule (7.21), qui permet justement de déterminer l’effet du retrait sur la courbure d’une section, dans le cas « non gêné ». Malheureusement, elle n’est rigoureusement applicable que pour les poutres isostatiques (voir également les conditions d’applications de la formule 7.21 ici).

Dans notre configuration, la MGI intègre le retrait directement au droit de la loi de comportement du béton, ce qui permet de traiter la configuration hyperstatique recherchée (voir également cet article sur ce sujet).

 

 

Résultat du calcul

 

 

Tout en ayant conservé le cas de charge précédent, l’intrégration du retrait du béton engendre les phénomènes suivants :

 

Abaissement de Mcr et accroissement des linéaires fissurés

 

Le retrait conduit à un abaissement net du moment critique de fissuration. 

Pour comprendre ce phénomène, les schémas ci-dessous reproduisent le schéma mécanique d’une section béton reprenant 45kNm, avant puis après l’apparition du retrait.

Sous l’effet du retrait, tous les aciers se retrouvent en compression. Pour équilibrer un même moment de flexion, le béton tendu est donc davantage mobilisé et atteint plus rapidement f_ctm,fl, seuil de fissuration.

 

 

Sur le schéma du bas, le f_ctm,fl est atteint, le schéma correspond exactement au point juste avant fissuration : le moment de fissuration après retrait est donc de 45kNm. Sur le schéma du haut, en l’absence de retrait, on voit que le béton tendu présente encore une bonne réserve (2,8MPa < 3,4MPa) avant d’atteindre le seuil de fissuration.

NB : A noter que dans le cadre de l’EC2 §7.4.3(6), formule (7.21), l’eurocode 2 propose de conserver le même taux de fissuration ζ le long de la poutre après retrait : ce qui ne permet pas de représenter le phénomène décrit ci-dessus.

 

Augmentation des courbures des sections fissurées

 

Lorsque la section est fissurée, pour équilibrer un même moment de flexion, la courbure doit augmenter pour aller chercher une réaction suffisante du béton en compression.

L’analyse locale de la section critique en travée de rive évolue comme suit :

 

 

On constate :

• une augmentation de la déformation du béton comprimé de ε = 0,63 10^-3 à 0,99 10^-3
• une augmentation de la courbure de la section de 59 10^-3 m^-1 à 9.06 10^-3 m^-1

 

Augmentation de la flèche

 

Les deux phénomènes décrits précédemment :

• abaissement du seuil de fissuration, et augmentation du linéaire fissuré de la poutre
• augmentation de la courbure des sections fissurées

concourent conjointement à une augmentation de la flèche de 1,5cm à 2,6cm sur cet exemple. Le critère de flèche reste validé (2,6cm < 3cm) mais avec beaucoup moins de marge que précédemment.

 

Raccourcissement axial de la dalle

 

Le modèle est bloqué axialement sur l’appui de droite. On voit que le retrait a conduit à un déplacement de l’appui gauche de 4,4mm, qui correspond au raccourcissement d’ensemble de la dalle.

 

La modélisation élastique δL= ε.L

 

Si la dalle de 28cm était en béton non armé, posée sur un lit de glissement parfait, on pourrait évaluer son raccourcissement à δL= ε.L = 3 10^-4 . 3x7,5 = 6,75mm.

C’est ce que l’on observerait aussi en modélisant la dalle avec un logiciel éléments finis courant, et en appliquant à cette dalle un abaissement de température de 30°.

NB : La barre étant élastique homogène non fissurée, l’effet du retrait peut en effet être simulé comme un effet de dilatation thermique :  ε_th = - α_c .δT = 10.10^-6 K^-1. 30° = 3.10^-4.

En réalité, 2 phénomènes invisibles avec un logiciel éléments finis standards viennent en réalité diminuer l’effet de raccourcissement axial de la dalle :

• dans l’ensemble du linéaire, les aciers en présence s’opposent partiellement au raccourcissement du béton en développant des contraintes de compression (voir également cet article sur le sujet)
• au droit des linéaires fissurés, le raccourcissement lié au retrait est totalement compensé par l’effet d’allongement sours charges gravitaires décrit plus haut, les tronçons demeurent même en léger allongement

 

Etude de l’effet de retrait « gêné »

 

La mise en traction de la dalle

 

Simuler le cas de la dalle bloquée axialement  consiste à déterminer par itération l’effort axial de réaction à intégrer sur l’appui gauche de façon à obtenir un déplacement nul de la dalle au droit de ce même appui gauche.

Par itération, on aboutit à un effort de traction de 190kN/ml conduisant à l’analyse structurale suivante :

 

 

 

La modélisation élastique N = E.S.ε

 

Lorsqu’on suppoe la dalle élastique linéaie, l’effort normal développé au droit de l’appui gauche peut se déduire directement de la loi de Hooke. En considérant :

• un module flué E = 10¹⁰ Pa
• une section fissurée sur la moitié du linéaire forfaitairement, soit

S            = 50% x Snonfissuré + 50% x Sfissurée

               = 50% x 0,28 m² + 50% x 0,095 m²

               = 0,14m²

• un retrait de ε = 3 10^-4

on obtient un effort axial de N = 420 kN/ml.

C’est quasiment le triple de l’effort obtenu en intégrant les lois de comportement proposées par l’EC2 (190 kN/ml). 

L’explication tient aux phénomènes déjà mentionnés précédemment : un modèle élastique linéaire ne permet pas d’établir la compatibilité axiale des déformations, l’allongement sous charges gravitaires, la fissuration progressive...  et donc n’est pas toujours approprié pour étudier les effets du retrait ou plus généralement des systèmes béton armé contraints axialement.

 

Afaiblissement du Mcr et accroissement de la flèche

 

Le blocage axial accentue le phénomène d’abaissement du moment critique de fissuration décrit précédemment, du fait de l’effort normal de traction. Ceci engendre un nouvel accroissement de la flèche, qui atteint cette fois la valeur de 3,6cm : supérieure au critère (3cm).

 

Augmentation de l’ouverture de fissure et des contraintes dans les aciers

 

Au droit de la section critique, la contrainte de traction dans les aciers a augmenté d’environ 120MPa et l’ouverture de fissure est  passée de 0,21mm à 0,34mm comme le montre le schéma ci-dessous :

 

 

 

La résilience de la dalle face aux chargements ELS

 

Dans ce paragraphe, nous nous plaçons dans la même configuration que précédemment :

• dalle continue
• situation de chargement chargé-déchargé-chargé à l’EKS
• fluage ϕ=2
• retrait ε = 3 10^-4, bloqué aux appuis d’extrémité

et nous examinons la sensibilité de la dalle béton armé vis-à-vis des variations de chargement ELS. Nous examinons ainsi les cas :

• G seul
• G+ ψ₂Q (déjà présenté juste avant).
• G+ Q

Les résultats de simulation sont consignés dans le tableau ci-dessous.

Nous observons que plus la dalle est chargée, plus elle subit un moment de flexion, plus elle fissure, plus elle « libère » l’effort de traction dans la dalle.

On passe ainsi successivement de 289 kN/ml sous G, à 190kN/ml sous G+ ψ2Q pour arriver enfin à 120kN/ml  sous G+Q.

Dans cette simulation, la contrainte dans les aciers tenddus ainsi que l’ouverture de fissure se retrouvent quasiment invariables quelque soit le chargement ELS.

 

Ce résultat semble nous montrer une forme de « résilience » de la structure béton armé, en présence de retrait géné.