Justification du contreventement d'un bâtiment poteau-poutre existant

 Les bâtiments de logements et bureaux en béton armé datant de la Reconstruction (1945-1960) n'ont pas toujours été étudiés vis-à-vis du contreventement. Dans certains bâtiments d'époque, le contreventement repose sur les hyperstatismes obtenus dans les assemblages et clavetages entre poteaux et poutres, souvent peu armés.

Cet exemple propose l'étude et la justification d'une structure souple R+5 en poteau poutre béton armé sous les effets du vent, ce que l'on réduire à l'étude d'un poteau continu en béton armé, non contreventé, chargé et encastré partiellement à chaque étage.

Le calcul illustre les atouts de la méthode générale intégrale pour traiter ce genre de configuration dans le respect de l'EC2 et en intégrant les effets de second ordre.

 

Description de l’exemple

 

L’ouvrage étudié est un bâtiment en béton armé construit dans les années 1950 pour un usage de laboratoire industriel.  Sa structure présente un rez de chaussée surélevé sur vide sanitaire, complété de 3 étages de relative grande hauteur (4m à 4,60m) pour permettre l’aménagement de grand plenums techniques sous dalle.

Les poutres de plancher sont disposées transversalement aux façades et interrompues en partie centrale au droit de la circulation. L’ensemble obtenu assure une irrigation facile des réseaux et gaines depuis l’axe longitudinal  puis par distribution latérale, sans aucun franchissement de poutre.

Les façades, non représentées sur le plan ci-dessous, sont réalisées à l’aide de bandeaux d’allège préfa autoportants de poteau à poteau, complétés par des ensembles menuisés en aluminium.

 

 

Le bloc étudié ne présente pas de circulation verticale (noyau d’escalier ou d’ascenseur), la desserte des étages est assurée depuis les blocs adjacents, situés de part et d’autre de joints de dilatation.

Le contreventement du bâtiment sous le vent « long pan » ne peut dès lors être assuré que par les ensembles poteau-poutre-poteau, jouant chacun un rôle de portique et reprenant une partie de l’effort de vent via la diffusion par la dalle.

Il est possible que le concepteur de l’époque ait intentionnellement étudié la stabilité globale du bâtiment avec ces portiques, dans le but de libérer totalement les plateaux de tout voile de refend.

Il est également possible qu’il n’ait simplement pas considéré le vent, à une époque antérieure aux NV65 où le cadre réglementaire était moins établi qu’aujourd’hui sur ces aspects.

Dans le sens du vent « pignon », il existe quelques voiles longitudinaux qui assurent le contreventement.

Cet article propose une étude conforme EC2 pour vérifier la stabilité globale du bâtiment dans le sens du vent « long pan », dans le cadre d’une réhabilitation ou d’une surélévation du bâtiment.

 

 

Le calcul de la stabilité globale au 2^nd ordre

 

Cas de dispense de l’étude de stabilité globale au 2^nd ordre

 

La relative souplesse d’un tel système alerte le concepteur sur une sensibilité probable   de la structure aux effets globaux de second ordre.

L’EC2 propose 2 critères pour éventuellement se dispenser de l’étude de stabilité globale. Nous examinons tout d’abord ces deux pistes avant d’envisager le détail du calcul.

• 5.8.2.(6) nous indique que les effets globaux de second ordre peuvent être négligés s’ils représentent moins de 10% des effets du premier ordre

Malheureusement, cette clause n’est pas auto-suffisante. En effet, il faut pouvoir calculer un majorant de l’effet de second ordre pour pouvoir ensuite statuer sur la possibilité de se dispenser de son calcul détaillé.

• 5.8.3.3 nous propose une formule reliant la charge verticale, l’inertie de flexion des contreventements et la hauteur de la structure.

 

 

Cette formule semble intéressante, mais elle n’est applicable que pour des systèmes de contreventement par voiles, libres en têtes, encastrés en fondations, ce qui n’est pas notre cas.

Par curiosité, on peut remplacer le portique de notre projet par un voile supportant la même charge verticale, pour déterminer la longueur minimale de ce voile, qui permettrait de vérifier exactement le critère (5.18).

La charge gravitaire s’appliquant sur 1 portique de contreventement vaut : F_V,Ed = 2x85T=170T, tandis que les autres paramètres valent : n_s = 4, E_cd = 30 GPa / 1,2 / (1+1,5) = 10 GPa, L=20m.

Dans notre exemple, le calcul montre que l’égalité est atteinte pour un voile de 18cm et 2,75m de longueur.

En definitive, les critères de dispense de l’EC2 ne permettent pas d’éviter l’étude de la stabilité globale au second ordre de notre configuration de portique multi-étagé en béton armé.

La suite de l’exposé se consacre ainsi à cet exercice.

 

L’application de l’Eurocode 2 - §5.8.2 (2)P

 

L’EC2 §5.8.2 (2)P stipule : « lorsque des effets du second ordre sont pris en compte, l'équilibre et la résistance doivent être vérifiés à l'état déformé. Les déformations doivent être calculées en tenant compte des effets appropriés de la fissuration, des propriétés non-linéaires des matériaux et du fluage. »

Outre l’intégration de la non linéarité de second ordre, la résolution du problème de stabilité globale doit donc nécessairement passer également par la prise en compte de la non linéarité du comportement des matériaux béton et acier, et par la prise en compte de la fissuration.

 

Quelle longueur de flambement* retenir pour ces poteaux ?

 

 

* longueur de flambement également appelée « longueur efficace » ou l₀ selon les notations EC2

En règle générale, dans un bâtiment béton armé, le réflexe de l’ingénieur est de supposer un poteau bi-articulé, contreventé en tête (figure 5.7 a) de l’EC2), et présentant une longueur de flambement correspondant à une hauteur d’étage.

Cette hypothèse est très souvent applicable dans le cas des poteaux sur les projets, modulée éventuellement par la prise en compte d’encastrements partiels ou parfaits aux extrémités (figures c), d), f) ).

Dans des cas plus rares, en l’absence de contreventements externes au poteau étudié, c’est le poteau lui-même qui doit assurer le contreventement de la tête (extrémité 2 sur le schéma) : on parle alors de poteau « non contreventé », ce qu’on pourrait également nommer poteau « contreventant ». On adopte alors comme modèle mécanique l’une des figures b) e) ou g).

La question arrive donc assez vite ici : quel modèle mécanique appliquer dans notre exemple, et quelle longueur de flambement retenir ?

En réalité, cette question n’a pas de réponse : ici, la notion même de longueur de flambement n’existe pas !

Cette affirmation mérite quelques explications :

La longueur de flambement reste attachée à l’idée que l’on peut considérer le poteau comme un élément isolé, chargé uniquement en tête et appuyé à ses seules extrémités.  

Dans notre exemple, il n’est pas possible d’isoler les poteaux étage par étage : la déformation de chacun joue sur les sollicitations de tous par effet de continuité et de second ordre, les dalles ne contreventent pas les poteaux, et enfin le chargement normal et transversal du poteau global est progressif.

 

Les méthodes pratiques de l’ingénieur structure

 

Or, l’ingénieur structure dispose classiquement de 2 méthodes d’analyse des poteaux :

• Un outil pratique pour les éléments isolés : la méthode générale simplifiée MG1 (encore appelée Méthode Faessel) qui permet de respecter les exigences de l’EC2 §5.8.2 2(P) énoncées précédemment, en approchant de façon simplifiée la compatibilité des déformations et le comportement non linéaire des sections

• mais comme précisé, notre cas ne peut se ramener ici à un élément isolé

• Un outil numérique d’analyse structurale globale élastique, basé sur les éléments finis, qui permet d’étudier des structures comme celle-ci, dans un cadre d’hypothèses de section élastiques, homogènes, et sans intégration du second ordre. C’est le type d’outils utilisé pour la détermination des sollicitations N,T,M dans les éléments, lorsque l’établissement de la compatibilité des déformations n’est pas nécessaire.

• cet outil n’est pas utilisable ici : l’EC2 §5.8.2 2(P) nécessitant l’appréhension de la non-linéarité

 

Notre cas de figure nous place donc dans un cas particulier, dont la seule réponse se situe dans l’utilisation de l’EC2 §5.7 : au travers d’une analyse non linéaire.

 

La méthode générale intégrale (MGI) fait partie de cette catégorie et constitue un outil pour traiter de façon simple ce type de cas d’usage :

• sans nécessiter de longueur de flambement,
• sans simplification risquéee,
• sans paramétrage complexe d’un logiciel aux éléments finis pour intégrer les singularités de ce cas d’usage

L’outil MGI détermine la solution exacte du problème, en respectant scrupuleusement les lois de comportement requises par l’EC2, et en intégrant le second ordre. Il présente en outre les résultats dans un formalisme métier compréhensible et vérifiable de façon totale par le praticien. (pour plus de détail sur cette méthode, voir également : MGI).

C’est l’option méthodologique retenue dans la suite de cette étude.

 

Les paramètres de l’étude

Le présent paragraphe ne détaille pas l’établissement de toutes les hypothèses de l’exemple mais développe quelques aspects qui présentent un intérêt particulier dans ce type d’analyse.

 

Paramètres de résistance du béton et de l’acier

 

Dans notre exemple, on suppose avoir qualifié la résistance du béton et des aciers des poteaux pour pouvoir retenir :

• f_ck = 20MPa pour le béton
• f_yk = 400 MPa, classe A, pour les aciers.

Il est intéressant en réhabilitation de noter que l’annexe A de l’Eurocode 2 permet, le cas échéant, de gagner 10% sur la résistance de l’acier et 15% sur la résistance du béton, par l’intermédiaire d’une modification des coefficients partiels relatifs aux matériaux, lorsqu’un certain nombre de conditions sont réunies quant à la connaissance de l’ouvrage réalisé.

 

Coefficient de fluage du béton

 

On admet que la proportion de charges gravitaires long terme est ici de 80%, et que les sollicitations dans le poteau sont principalement dues au charges gravitaires devant les effets du vent.

On admet par ailleurs que le coefficent de fluage du béton à temps infini vaut ϕ_inf = 2.

Notre calcul de stabilité globale étant réalisé à l’ELU, on retient ainsi un taux de fluage efficace ϕ_ef = 1,16.

NB : Bien que LT=80%, à l’ELU, ϕ_ef ≠ 80% ϕ_inf, voir le paragraphe coefficient de fluage à l’ELU à ce sujet.

 

Imperfection géométrique de la structure

 

En toute rigueur, il est possible de réaliser un relevé géométrique du bâtiment afin de constater l’éventualité du faux aplomb de chacun des poteaux et retenir la valeur du poteau le plus défavorable.

Dans cet exemple, nous considérons la démarche à retenir en l’absence de relevé, ou bien lorsqu’on étudie un ouvrage neuf.

L’imperfection géométrique réglementaire s’exprime sous la forme d’une inclinaison générale du poteau θ_i  associée à la formule (5.1) :

θ_i = θ₀. α_h. α_m

où  θ₀ = 5 mrad et où l’on valorise par ailleurs :

• la hauteur totale L du poteau 2/3 ≤ α_h = 2 / L^1/2 ≤ 1  
• le nombre m de poteaux participant au contreventement α_m = ( 0,5 (1+1/m) )^1/2

Dans notre configuration, on peut retenir

• L=20m => α_h = 0,44, retenu 0,;67
• m = 40 poteaux => α_m = 0,72

soit θ_i = 0,005. 0,67. 0,72 =  0,0034 rad,

A L= 20m, on retient donc une imperfection de 4,8cm.

On note que la valeur est faible, et à priori peu pénalisante pour le calcul.

 

Raideur flexionnelle des poutres sur les poteaux

 

La modélisation nécessite de déterminer la raideur flexionnelle exercée par les poutres sur le poteau. Il s’agit bien de raideurs en Nm/rad, qui s’opposent à la rotation de la section du poteau au droit du nœud, par le développement un moment de réaction de sens opposé à la rotation. En revanche, ces poutres ne s’opposent pas au déplacement latéral.

Contrairement à un cas de poutre encastrée à une extrémité et libre à l’autre, dans notre cas, la poutre est encastrée à ses 2 extrémités. Lorsqu’un effort horizontal agit sur le portique, un moment identique apparaît en tête des 2 poteaux, le point de moment nul est donc positionné à mi portée de la poutre. Tout se passe comme si la poutre était 2 fois plus rigide ou, ce qui est équivalent, comme si elle présentait une portée deux fois moindre.

Dans notre exemple, on admet que cette raideur vaut k_M = 3 10⁷ Nm/rad.

Pour le calcul détaillé de la raideur, on pourra également se référer à ce paragraphe  qui rappelle la formule élémentaire applicable en résistance des matériaux et précise par ailleurs la valeur du module E et de l’inertie I à retenir dans une configuration de béton armé étudié à l’ELU.

 

Tableau des appuis du poteau continu

 

Sur la base de l’estimation précédente, on renseigne le tableau des appuis comme suit :

 

 

On rappelle que x est l’axe longitudinal descendant, dont le 0 est réglé en tête de poteau, y est l’axe latéral du poteau. Les 6 appuis présentent la rigidité flexionnelle kMz établie précédemment. L’appui inférieur est le seul qui bloque la translation horizontale et verticale du poteau (« 1 » signifiant forfaitairement +∞ dans l’outil).

Les appuis du poteau sont considérés non monolithiques (m=0) et de largeur 50cm (a=0,5m).

 

Tableau des actions sur le poteau continu

 

On admet enfin que s’appliquent sur le poteau continu les actions pondérées suivantes, dans la configuration ELU étudiée. Chaque noeud d’un niveau courant reçoit une charge gravitaire de 200kN correspondant à la réaction d’appui de la poutre et au poids d’un niveau de façade, ainsi qu’un effort horizontal de 3,8kN correspondant à la quotepart du vent long pan sur le niveau, reprise par le poteau étudié.

 

 

NB : En toute rigueur, l'encastrement entre le poteau et la poutre génère également un moment infligé par la poutre sur le poteau, au droit de chaque appui, suite à la flexion de la poutre sous charge gravitaire. Par voie de simplification, on néglige ce moment dans la présente analyse.

 

Modélisation et Résultats

 

Paramétrage du calcul

 

L’ensemble des données du problème sont renseignées dans le modèle et le calcul est lancé :

 

 

Analyse structurale globale

 

Le calcul converge vers une solution stable et dévoile les courbes d’analyse structurale suivantes :

 

 

• en terme de déformation, on retrouve la « flèche de construction » de 4,8cm en tête, à laquelle s’ajoute une déformation ELU de 6,5cm,second ordre inclus, pour atteindre une valeur totale de 11,3cm.
• le moment et la courbure présentent des ruptures de continuité, dont l’amplitude correspond au moment qui passe dans chacune des poutres
• au droit du nœud, la courbe en pointillé trace la valeur du moment entre axes, tandis que la courbe retenue en trait fort matérialise la valeur du moment écrété.
• L’effort normal est de plus en plus important dans la section, ce qui permet d’accroître au fur et à mesure la limite de résistance en flexion des sections du poteau (courbe bleu pointillée) jusqu’à x=17,8m.
• La section la plus sollicitée, c’est-à-dire celle ou la sollicitation s’approche le plus de la résistance, est située à x=17,55m

 

Effets de second ordre

 

La superposition des courbes finales  (en vert) avec les courbes sans le second ordre (en bleu) permet de mettre en évidence l’impact de l’effet de second ordre.

 

 

Au droit de la section la plus sollicitée, on note que le second ordre augmente le moment de  9/30 =30%.

 

Analyse locale de la section la plus sollicitée

 

 

Au droit de le section la plus sollicitée, la fibre extrême du béton entre en traction tout en restant non fissurée.

NB : le modèle exploite en effet la possibilité d’utiliser l’effet favorable de la participation du béton tendu conformément à l’EC2 §5.8.6 (5).

La contrainte dans le béton atteint une valeur significative de 11,1MPa , > 0,5 f_ck. Par conséquent, le module sécant dans béton ne vaut plus que 50% environ du module élastique d’origine  (qui valait E_cd/ɣ_CE/(1+ϕ_ef)).

On peut par ailleurs relever que la contribution des aciers est essentiellement une contribution de compression, à hauteur de 13% de l’effort normal.

Ces deux dernières remarques montrent la difficulté de représenter un tel cas d’usage dans un modèle d’analyse élastique classique : la contribution des aciers et l’évolution continue du module sécant du béton le long du poteau compliquent la détermination d’un module et d’une inertie équivalente qui permettrait d’obtenir des déformations « justes » du point de vue réglementaire, dans le cadre d’un étude de stabilité globale.

 

Conclusion de l’exemple

 

L’étude détaillée de la stabilité globale de cet ouvrage montre que  la structure est stable : le système de portique multi étagé est capable d’assurer la reprise des effets du vent et le faux aplomb possible du bâtiment, même en l’absence de voile de contreventement.

Cette conclusion donne raison au concepteur historique de cette structure, qu’il ait choisi délibérément de mettre en place ces portiques pour traiter les effets du vent, ou qu’il ait supposé d’emblée que la stabilité d’un tel ouvrage ne nécessitait pas de vérification.

Les règles de bonne pratique en conception de béton armé  conduisent à recommander à minima 3 voiles non concourants dans les bâtiments afin de stabiliser les structures sous les efforts horizontaux et se dispenser de toute étude à priori complexe de stabilité globale et de 2^nd ordre (voir également le paragraphe « les principes de contreventement » à ce sujet). L’EC2 §5.8.3.3 offre d’ailleurs une règle simple permettant de valider simplement ce type d’approche.

L’exemple présenté ici met en lumière des alternatives possibles et des stratégies de conception différentes, pouvant trouver une résonance particulière dans les projets d’aujourd’hui.

Dès lors que leur dimensionnement est maîtrisé, les structures en béton armé contreventées par portiques multi-étagés offrent en effet quelques atouts :

• une économie carbone du projet en limitant le béton à la seule ossature structurelle, éliminant toute mise en œuvre de voiles « forfaitaires » pour raison de contreventement, et exploitant au mieux les systèmes poteaux poutres non seulement pour le gravitaire mais aussi pour le contreventement

• une modularité accrue dans le cadre d’une conception pensée pour des usages évolutifs, ou bien plus largement lorsque la mise en place de contreventements est gênante fonctionnellement.

• une souplesse d’ensemble du bâtiment propice à un comportement parasismique ductile, et de fait limitant les efforts sismiques infligés aux fondations.

• une limitation des effets de la dilatation et du retrait, la présence de voiles créant des rigidités importantes pouvant créer des effets de traction plus significatifs dans les horizontaux