Une méthode générale intégrale (MGI) selon l'Eurocode 2

Cet article présente les atouts d’une approche non linéaire pour le calcul des éléments linéiques en béton armé, destinée à établir la solution unique du problème mécanique — lorsqu’elle existe — en respectant la compatibilité des déformations flexionnelles et axiales en tous points.

Inspirée de la méthode générale et pleinement couverte par l’Eurocode 2, cette démarche baptisée « méthode générale intégrale », ou MGI, ouvre des possibilités pour l’analyse et l’optimisation de nombreux cas courants, du poteau élancé aux éléments continus en flexion‑compression.

 

Le calcul pratique des poutres et des poteaux en béton armé

 

Les méthodes de calcul des éléments linéiques sous sollicitations normales sont fondamentales pour l'ingénieur en béton armé. Elles sont utilisées dans le dimensionnement des poteaux et des poutres, mais également des voiles (murs) et des dalles et par conséquent dans la plupart des ouvrages d'un projet de structure de bâtiment ou de génie civil courant.

Cependant, dans la pratique du BAEL hier et de l'Eurocode 2 aujourd’hui, les approches des poutres et des poteaux sont documentées et enseignées séparément, avec d'un côté le calcul des poteaux et de l'autre, le calcul des poutres continues.

Cette dichotomie génère parfois des 'angles morts' dans l’analyse, dans des configurations de structure intermédiaires.

De surcroît, dans la pratique actuelle, l'évaluation explicite de la compatibilité des déformations de la structure est contournée dans la détermination des sollicitations, conduisant à une résolution approchée des équations ^NOTE, ce qui peut être problématique dans certaines configurations.

 

L’unicité de la solution

 

Pour autant, un élément linéique en béton armé dont on connaît :

• l'intégralité des sections sur tout le linéaire : coffrage et ferraillage, qui peuvent éventuellement être variables le long de l'élément,

• la flèche de construction sur tout le linéaire: tolérance géométrique de réalisation ou flèche de construction souhaitée pour des raisons techniques ou architecturales,

• l'intégralité des conditions d'appuis : qui peuvent être aux extrémités mais aussi à différentes abscisses le long de l'élément, avec un degré d'hyperstatisme quelconque,

• l'intégralité des chargements, qui peuvent être axiaux ou transversaux, ponctuels ou répartis, simplement aux extrémités ou à différentes abscisses le long de l'élément ,

• les lois de comportement non linéaires du béton et de l'acier,

présente au maximum 1 solution, unique, qui permet de vérifier l'ensemble du système et notamment la compatibilité des déformations axiales et flexionnelles.

C'est également le cas lorsqu'on introduit en complément les effets du second ordre.

 

La méthode générale intégrale

 

 

La méthode générale intégrale (MGI) pour le calcul des poutres et des poteaux en béton armé propose de déterminer cette solution unique lorsqu'elle existe, pour tout élément symétrique par rapport à un plan, et dont les efforts et les conditions d'appuis sont dans ce plan (normaux ou tangents).

Elle ne nécessite donc plus de contourner l'examen de la compatibilité des déformations, car elle l'établit de manière exacte en tout point. La distinction entre excentricité externe et excentricité interne disparaît donc, car les deux notions se confondent tout au long de l’élément.

La méthode générale intégrale peut ainsi être considérée selon les points de vue comme :

• Une généralisation de la méthode générale de l'eurocode 2. En effet, la méthode générale de l'EC2, présentée pour le calcul des poteaux élancés, prévoit que les compatibilités des déformations puissent être éventuellement vérifiées dans plusieurs sections (EC2 §5.8.6). La méthode proposée ici détermine la compatibilité de manière intégrale en toute abscisse de l'élément.

• Une résolution numérique du phénomène d'adaptation du béton. Ce principe intuitif, enseigné depuis les débuts du béton armé, consiste à remarquer que le béton armé se comporte de la manière dont il a été calculé puis ferraillé. L’adaptation du béton peut trouver ici sa justification, et la méthode permet de vérifier son domaine de validité et ses limites sur différents cas. 

• Une passerelle entre le calcul pratique des poutres et celui des poteaux, qui complète et étend le domaine d'application de chacun et élimine des "angles morts" qui existaient jusqu'à maintenant (poteau multiappuyé par exemple, ou déformation ELS d’un poteau élancé)

• Une passerelle entre la modélisation mécanique ELS et ELU des sections béton armé, qui jusqu'ici étaient bien séparées. Dans la méthode proposée, les lois de comportement pour le béton et l'acier sont non-linéaires et évolutives en fonction de l'amplitude des sollicitations, à travers une approche identique dans une vérification ELS et dans une vérification ELU. Seuls les chargements imposés à l'élément et les coefficients de sécurité des matériauxvarient à l'ELS ou à l'ELU.

 

Une méthode encadrée par l'Eurocode 2

 

Au départ imaginée pour le calcul des poteaux en béton armé dans des situations quelconques de chargement, déformée, conditions d'appuis et variations de coffrage/ferraillage le long de l’abscisse, la méthode générale intégrale est une proposition mathématique et numérique pratique qui s'inscrit dans le cadre théorique de l'Eurocode 2 actuel. 

 

Méthode générale intégrale appliquée à un poteau bloqué hors plan, présentant une section et une flèche de construction particulières. Représentation locale des déformations, contraintes, sollicitations et ferraillages le long de l'élément.

 

Comme évoqué précedemment, elle propose de déterminer les conditions d’équilibre et de compatibilité de déformations dans toutes les sections de l’élément, de manière explicite. Elle généralise en ce sens la méthode proposée dans le texte de l'EC2 §5.8.6(6) :

 

Extrait de l'EC2 §5.8.6(6)

 

La MGI outrepasse ainsi certaines limites et risques d’utilisation de l'option simplifiée de  la méthode générale (MG1), qui consiste à n’étudier la compatibilité en déformation flexionnelle qu’au droit d’une seule section, supposée comme étant la section critique. (voir à ce sujet notre dossier sur la MG1 et ses limites d utilisation).

En effet, dans le cas des poteaux, la MGI permet de déterminer tous les effets de second ordre propagés aux appuis, mais elle également plus simple à appliquer, plus précise, et couvre un domaine d’utilisation plus large. Elle évite un certain nombre d'hypothèses parfois laborieuses et sources d'erreur pour l’ingénieur dont :

• la détermination d'une allure "ressemblante" de la déformée finale
• la bonne évaluation de la longueur de flambement de l'élément
• la bonne localisation de la section critique
• la détermination juste du moment de 1^er ordre à intégrer dans cette section critique
• la détermination juste de l'excentricité additionnelle à intégrer dans cette section critique

L'Eurocode 2 précise explicitement la possibilité d'utiliser ce type de méthode dans un autre article qui dépasse le cas des poteaux : EC2 §5.7 (1) :

 

Extrait de l'EC2 §5.7(1)

 

La MGI répond exactement à cette description : elle est de type non linéaire, s'applique à l'ELS et à l'ELU de manière indifférenciée, s’utilise au 1er comme au 2nd ordre, s’applique au calcul des poteaux mais aussi à la vérification et l'optimisation des poutres, et de tout ouvrage linéique continu en flexion composée.

 

Méthode générale intégrale appliquée à l'étude de la stabilité au déversement de la partie supérieure d'une "poutre-voile" non bloquée en tête hors plan. Chargement axial progressif et stabilité hors plan par des raideurs élastiques.

 

La compatibilité des déformations flexionnelles et axiales

 

La notion de compatibilité des déformations abordée dans l’eurocode 2 concerne plus précisément la compatibilité des déformations flexionnelles, c’est-à-dire la cohérence entre les courbures issues du « calcul RDM » et les courbures issues de la justification BA de la section.

La MGI vérifie cette compatibilité flexionnelle mais aborde également la compatibilité axiale : c’est-à-dire évalue l’allongement ou le raccourcissement des barres, en relation avec le comportement réel du béton armé, sa fissuration et sa plastification. Cet aspect revet une certaine importance dans l’analyse des effets du retrait et de la température sur les pièces linéiques en béton armé en flexion composée.

 

La justesse des résultats

Lorsque l’on prend en main un cadenas à chiffres, déterminer de prime abord la combinaison unique qui permettra d’ouvrir le cadenas est une tâche fastidieuse. En revanche, à partir d’une combinaison proposée, vérifier si cette combinaison est la bonne est une chose simple.

Cette logique s’applique également à la résolution du problème traité par la MGI : si la détermination de la solution unique au calcul n’est pas chose aisée, lorsque les déformations ε des 2 fibres extrêmes d’une poutre sont fournies en toute abscisse, il devient ensuite très facile de vérifier la justesse de la solution :

• d'un côté, le ε fourni aux deux extrémités de la section permet d'obtenir les contraintes normales dans le béton et l'acier et donc le moment et l'effort normal en chaque abscisse. On peut, dès lors, dériver 2 fois et vérifier coup sur coup la satisfaction des conditions limites en efforts ponctuels et en charges linéiques

• de l'autre côté, le ε aux deux extrémités de la section permet d'obtenir immédiatement la courbure de la section en chaque abscisse, qu'il suffit d'intégrer 2 fois pour récupérer la déformation finale et vérifier l'ensemble des conditions limites en déplacement, et donc également les efforts de 2nd ordre.

 

La philosophie de l’outil MGI

 

La MGI fournit ainsi l’ensemble des résultats le long de l’élément étudié, qui peuvent donc ensuite être vérififées simplement avec un tableur par exemple.

En pratique, l’outil d’implémentation de la MGI propose explicitement une ergonomie de navigation et un système de représentation graphique de tous les résultats, au plus proche du langage de l’ingénieur, pour lui permettre non seulement la vérification des calculs réalisés mais aussi la compréhension des phénomènes physiques.

Ce dernier peut à tout instant vérifier l'allure des courbes, les ordres de grandeurs des phénomènes physiques, les relations de proche en proche entre les graphes, constater l’évolution des phénomènes le long des éléments, comparer le premier ordre et le deuxième ordre dans les déformations, sollicitations, réactions aux appuis …

Cette représentation physique, associée aux durées de calcul très courtes de l'outil, vise à faciliter  le travail itératif d’analyse, de conception et d'optimisation de l'ingénieur en coffrage et ferraillage, en fonction des contraintes hors calcul dont il a la connaissance (type de coffrages possibles sur le chantier, catégories et de barre à employer, dispositions constructives minimales...).

 

Interface de données d'entrée de l'outil d'implémentation de la méthode générale intégrale

 

L’outil MGI n’a pas vocation à remplacer les logiciels dédiés au traitement rapide et automatisé des cas courants d’une étude de structure. Sa finalité est différente : apporter une lecture plus complète, plus contrôlée et plus transparente sur les situations où les simplifications usuelles atteignent leurs limites et où une analyse fine peut apporter une valeur ajoutée significative au projet.

De manière assumée, MGI ne cherche pas à automatiser les combinaisons, les enveloppes ou les interfaces BIM : sa philosophie repose sur la maîtrise totale, par l’ingénieur, du modèle, des hypothèses et de l’interprétation des résultats.

 

Différents champs d’applications de la MGI

 

De manière générale, la MGI ouvre la voie à :

• L’étude des poteaux en continuité, et des poutres continues en flexion compression avec étude des effets du second ordre (exemple dalle de parking enterré faisant buton)
• La justification de la compatibilité des déformations de toute poutre continue en fonction d'un ferraillage donné, sans nécessité de limiter la redistribution de prime abord ou d'introduire la notion de rotule plastique.
• L’étude optimisée des structures verticales élancées et dis-symétriquement chargées, ce qui représente un cas courant en pratique, (mur de grande hauteur faisant soutènement, façades élancées). On pourra notamment travailler le ferraillage dissymétrique approprié et les arrêts de barre, là ou la MG1 ne permet de justifier que des sections armées symétriquement et constantes sur toute la hauteur
• L’étude des poteaux d’inertie ou ferraillage variable en génie civil par exemple ou en bâtiment industriel
• L’étude des effets du second ordre dans les pieux quelques soient les conditions d'appui et de chargement en tête et les épures d'arrêts de barre
• L’étude de la flèche ELS des poteaux élancés au 2^nd ordre qui peut avoir des impacts certains en fonction des éléments de façade rapportée
• Le calcul de l’ouverture des fissures et de la flèche totale, documentée notamment dans le cas de poutres et dalles en continuité
• Le calcul des effets du retrait du matériau béton, de la dilatation thermique et du gradient thermique.

Vous trouverez un certain nombre de cas d’usage de la MGI sur l’OpenLAB, agrémentés d’images et vidéos. Bonne lecture !

 

 

 

NOTE : Dans le calcul des poutres continues, sont utilisées des approches linéaires qui négligent la contribution des aciers à l'inertie mais aussi la perte d'inertie des sections dans leur comportement ELU. L'introduction de la notion théorique de rotule plastique, avec des critères de compatibilité simplifiés, permet de se rapprocher la résolution exacte sans toutefois la déterminer. Entre les rotules plastiques, supposées ponctuelles, le comportement de l'élément reste élastique, ce qui constitue une double approximation. L'analyse par redistribution limitée proposée dans l'eurocode 2 est, quant-à elle, un cas particulier de l'analyse avec rotules plastiques, où l'on a positionné les rotules sur les appuis, et où l'on vérifie le critère de compatibilité de manière indirecte en limitant forfaitairement la redistribution des moments.

Dans le calcul des poteaux, sont utilisées des hypothèses sur l'allure ressemblante de la déformation de l'élément, qui permettent de réduire la question de la vérification de la compatibilité des déformations à l'étude d'1 section unique dite "critique", et d'aboutir à une estimation approchée des effets de second ordre et de la charge critique. Cette méthode, historiquement décrite par M.P. Faessel (annales de l'ITBTP n°249 - septembre 1968) est toujours largement d'actualité dans la pratique (EC2 §5.8.6 (6)). Au départ fonctionnelle pour des mâts en console ou des poteaux bi-articulés, cette méthode est aussi extrapolée de manière plus ou moins sécuritaire pour des configurations variables de conditions limites aux extrémités (EC2 Figure 5.7), via l'évaluation d'une longueur de flambement basée sur des formules dédiées. Un article OpenLAB est consacré aux limites de l'application de l'option simplifiée de la méthode générale de l'eurocode 2.