Méthode générale EC2 et limites d'utilisation – une déformée élastique

Analyse de la méthode générale MG1 de l’Eurocode 2 : l'impact de l'allure de la déformée sur le calcul des poteaux BA.

La méthode générale de calcul des poteaux selon l’eurocode 2 constitue un outil important du quotidien pour l’ingénieur structure, qui permet de réduire significativement la complexité théorique de l’étude d’un poteau ou d’un voile élancé en béton armé, en approchant les effets du second ordre.

Cependant, cette méthode présente des limites d’utilisation et des points de vigilance parfois délicats à maîtriser, d’autant que les implémentations sous forme de tableur, courantes dans les bureaux d’études, invisibilisent parfois certaines notions importantes.

Ce dossier en 4 parties propose une revue des étapes de calcul de la méthode générale avec un focus sur différents points impactants du calcul.  La présente partie 2 propose un focus sur une hypothèse sous-jacente de la méthode : l’allure de la déformée.

 

 

Retour à la partie précédente : Méthode générale de l'EC2 et limites d utilisation – les principes de la méthode (1/4)

 

Faire une hypothèse sur l’allure de la déformée

 

La MG1 suppose donc, d’une manière générale, d’admettre une hypothèse sur l’allure de la une déformée du poteau, qui ressemblerait le plus possible à la solution réelle du problème. On prend le plus souvent une hypothèse sinusoïdale, qui se traduit pour le mât équivalent, un ¼ de sinusoïde.

On a vu que cette allure sinusoïdale correspond à la solution exacte d’un mât :

• dont le moment de 1^er ordre est négligeable vis-à-vis du moment de 2^nd ordre
• qui présente une section bi-symétrique constante tout au long de son axe
• un comportement de matériau élastique (donc non fissuré et de module linéaire)
• soumis exclusivement à un chargement axial en tête,

Cependant, lorsque, dans son environnement réel :

• subit un moment de 1^er ordre significatif voire prépondérant
• que le poteau plastifie ou fissure dans les sections les plus sollicitées, (ce que l’on cherche souvent dans un dimensionnement ELU)
• ou présente une inertie variable (en coffrage ou ferraillage),
• ou des chargements axiaux successifs,

l’hypothèse d’une déformée sinusoïdale peut s’avérer éloignée de la solution exacte.

La figure ci-dessous montre le cas d’un mât unique de 3m de haut, sollicité latéralement dans 3 configurations différentes. Les valeurs sont choisies pour que le moment et l’effort normal de 1^er ordre dans la section d’encastrement soit identique dans les 3 configurations.

 

 

La solution exacte du problème au second ordre est très différente dans les 3 cas, et bien que l’effort normal, le moment de 1^er ordre à l’encastrement, et les poteaux soient strictement identiques, la déformation et donc le moment de 2^e ordre ordre obtenu varient dans un rapport de 1 à 10.

Un calcul au 1^er ordre montre déjà l’écart important de la déformation du poteau dans ces 3 configurations.

Pourtant, si on utilise la MG1, avec une hypothèse de déformée sinusoïdale, on obtiendra le même résultat, dans les 3 configurations.

Plus largement, lorsque l’on extrapole la MG1 sur des configurations de poteaux avec des chargements ou des conditions d’appuis variées (excentrement de charge en tête, encastrements partiels), on s’éloigne des hypothèses d’origine de la MG1.

L’Art de l’ingénieur consiste  à bien maîtriser les limites de son modèle et pour déterminer le bon « modèle réduit » et la bonne hypothèse de déformée.

 

La représentation de l’imperfection géométrique

 

Indépendamment de la déformation prise par un poteau sous chargement, les « flèches de construction » d’ un poteau en béton armé sont des flèches initiales qui créent des sollicitations de flexion dès le 1^er ordre et peuvent être initiatrices de l’effet de 2^nd ordre subi par la structure (de son mode et de son sens de flambement).

Ces flèches initiales sont donc à prendre dans le calcul. Elles peuvent être de deux natures différentes :

• allures géométriques éventuelles de la ligne moyennedu poteau, « choisies » pour des raisons architecturales, fonctionnelles ou structurelles.
• imperfections géométriques « imposées » du fait de tolérances de réalisation (position d’armature ou de coffrage), inévitables sur un chantier.

La partie EC2 §5.2 mentionne la valeur de ces imperfections géométriques à intégrer dans le calcul de prime abord, afin que la justification du poteau soit cohérente avec les tolérances des normes d’exécution qui seront admises lors de la construction.

La figure (5.1) illustre plus précisément cette notion lorsque l’on étudie un poteau en console ou bi-articulé.

Elle propose également une alternative consistant à remplacer l’imperfection géométrique dans le modèle  par un effort horizontal H_i équivalent.

Sont reproduits ci-dessous les dessins 1 à 4 directement issues de la figure 5.1 de l’eurocode, et sont ajoutés les dessins 5 et 6 pour illustration de la suite de l’exposé.

 

 

Les schémas 1 et 2 créent tous deux un moment triangulaire dans le mât, du sommet jusqu’à l’encastrement. Adopter un schéma 2 avec H_i = ϑ_i.N est bien équivalent au schéma 1 avec e_i = ϑ_i.L

En revanche, les schémas 3 et 4 mettent potentiellement en évidence un biais de de perception lorsqu’on étudie la méthode générale à travers le prisme de la MG1, qui dans l’absolu, n’en est qu’une option simplifiée.

En effet, comme vu précédemment, les schémas 3 et 4 ne sont pas équivalents dans l’absolu : Le schéma 3 conduit à un moment constant M = ϑ_i.L_i/2.N sur toute la hauteur du poteau, tandis que le schéma 4, utilisé avec H_i = 2 ϑ_i.N,  conduit à un moment bi-triangulaire avec pour valeur maximale M = ϑ_i.L_i/2.N.

La différence entre le cas 3 et 4 s’explique de la même façon que la différence vue plus haut entre les 3 configurations de poteaux de 3m.

De son côté, le schéma 6 vise à mettre en perspective le cas courant d’une erreur de verticalité éventuelle sur un poteau bi-articulé. Contrairement au cas 1, cette imperfection ne génère dans le cas 6 aucune sollicitation sur le poteau, car les 2 appuis d’extrémités peuvent reprendre l’effort horizontal qui permet de réaxer l’effort N selon l’inclinaison du poteau.

 

Une allure de la courbure semblable au moment de 1^er ordre

 

En alternative à l’hypothèse sinusoïdale, l’Eurocode 2 §5.8.6(6) propose explicitement  de supposer une allure de la courbure semblable au moment de 1er ordre. Cependant, cette approche n’est pas toujous plus simple à valider.

Prenons le cas du mât avec moment en tête (3^e cas ci-dessus) :

• Le moment ELU de 1^er ordre est constant sur toute la hauteur
• On considère donc que la courbure reste également constante
• Dès lors, la déformée y(x), qui est l’intégrale de l’intégrale de la courbure, est une parabole

Mais lorsque le 2^e ordre intervient,

• le moment de 2^eordre, lui n’est plus constant
• la section le plus souvent n’est plus élastique,
• la déformée finale ne peut plus être parabolique.

L’hypothèse sur la déformée nécessaire à la MG1 se faisant sur la déformée finale : on se retrouve donc à faire l’hypothèse d’une déformée parabolique qui en réalité ne peut pas l’être.

 

Déterminer la longueur de flambement

 

Dans la suite de l’exposé, on suppose applicable l’hypothèse d’une déformée sinusoïdale.

Le passage du poteau dans sa situation réelle à son modèle de mât équivalent, nécessite de déterminer la longueur dite « longueur efficace » selon l’EC2 ou encore « longueur de flambement » du poteau réel. Cette longueur de flambement correspond à la longueur de l’élément (éventuellement prolongé fictivement) au bout de laquelle la déformée aura parcouru exactement une ½ sinusoïde.

L’illustration suivante montre 5 configurations de poteaux qui ont en commun une même longueur de flambement,  et donc qui s’étudient avec un même modèle de mât équivalent dans le cadre de la MG1, malgré des longueurs réelles L_reel et des conditions d’appui différentes.

 

 

L’illustration de l’EC2 figure 5.7 propose une illustration différente de la même notion, avec 7 poteaux qui cette fois ont en commun leur longueur réelle :

 

 

Pour les besoins de l’exposé, on réalise ci-après une réorganisation de cette figure de l’EC2  comme suit :

• classement selon les conditions limites aux appuis
• ajout de 2 cas g’) et g’’) qui sont en fait des cas particuliers de g)
• mise en évidence des points de moment nul et des sections critiques
• modification de la formule « g) l₀>2 l » en g) l₀> l », en toute rigueur l₀>2 l s’applique à g’)
• notation L_f au lieu de l₀ pour les longueurs de flambement ou efficace
• notation s au lieu de k pour désigner les souplesses aux appuis

Les sections critiques repérées sur la figure sont bien celles évaluées dans la section du mât équivalent utilisé dans le cadre de la MG1.

 

 

On peut remarquer dès à présent que dans certaines configurations d’appuis, la section critique se trouve au-delà du poteau réel. La problématique qui peut alors se poser est de déterminer le bon moment de 1^er ordre à effectivement retenir pour dans le calcul du mât équivalent utilisé dans l’hypothèse MG1.

C’est l’objet du chapitre suivant : Méthode générale de l'EC2 et limites d utilisation – chargements latéraux et rigidités d’appuis (3/4)