Méthode générale EC2 et limites d'utilisation – charges latérales et rigidités d’appuis

Méthode générale MG1 : L'évaluation des rigidités d’extrémité  et du moment de 1er ordre à retenir pour le calcul des poteaux et voiles BA.

La méthode générale de calcul des poteaux selon l’eurocode 2 constitue un outil important du quotidien pour l’ingénieur structure, qui permet de réduire significativement la complexité théorique de l’étude d’un poteau ou d’un voile élancé en béton armé, en approchant les effets du second ordre.

Cependant, cette méthode présente des limites d’utilisation et des points de vigilance parfois délicats à maîtriser, d’autant que les implémentations sous forme de tableur, courantes dans les bureaux d’études, invisibilisent parfois certaines notions importantes.

Ce dossier en 4 parties propose une revue des étapes de calcul de la méthode générale avec un focus sur différents points impactants du calcul.  La présente partie 3 détaille plusieurs points de vigilance dans la détermination du moment de 1^er ordre à retenir et sur l’évaluation des rigidités d’extrémités à retenir.

 

 

Retour vers la partie précédente : Méthode générale de l'EC2 et limites d utilisation – une hypothèse de déformée élastique (2/4)

 

Déterminer le bon moment de 1er ordre, en cohérence avec la MG1

 

Cas d’un poteau réel bi-articulé

 

Si on développe un premier exemple d’un poteau réel bi-articulé, qui correspond au cas a) présenté ci-dessus, l’application de la MG1 conduit schématiquement à étudier le mât équivalent suivant :

On rappelle que dans la MG1, étudier la stabilité du poteau dans la configuration réelle revient à étudier la stabilité de ce mât équivalent, qui elle-même peut être réduite à l’étude de la section de ce mât à son encastrement.

Le poteau bi-articulé peut se regarder comme 2 mâts en console encastrés l’un sur l’autre en miroir.

On détermine assez simplement les conditions d’équivalence entre les 2 études :

• longueur libre du mât équivalent L_mat = ½ L_reel,
• excentrement initial équivalent  e_mât⁰ = e_reel⁰ ,
• effort latéral en tête H_mât = H_réel/2
• effort axial P

Le moment de premier ordre sollicitant la section d’encastrement du mât est donc : M_mât^1er= e_mât⁰.P + H_mât.L_mât.

Ce moment est bien égal à la section à mi hauteur du poteau réel M_réel^1er = e_réel⁰.P + H_réel.L_réel /4 = M_mât^1er .

Le passage d’un modèle à l’autre pour l’étude par la MG1 est simple et sans risque d’erreur.

 

Cas d’un mât réel encastré partiellement

 

Si on développe maintenant une configuration de cas g’), qui est une simplification du cas g), on obtient le dessin suivant :

Ce schéma pose à nouveau la question de la détermination du moment de 1^er ordre à prendre en compte dans la MG1 pour étudier le poteau, et la réponse cette fois est moins simple. La section critique du modèle réel se situe en A,  au droit de l’encastrement du poteau dans la longrine. Le moment sollicitant de 1^er ordre est déterminé par : M_réel,A^1er = e_reel⁰.P+H_reel.L_reel.

On pourrait être tenté d’utiliser ce moment dans la MG1. Ce serait une erreur, car dans ce contexte de poteau en console encastré partiellement, la longueur de flambement est supérieure à 2x la longueur réelle. Autrement dit, la section d’encastrement parfait du modèle de mât (celle étudiée dans la MG1) est reportée en O, au-delà de la longueur réelle.

Il est préférable de dessiner et étudier le schéma de droite pour percevoir la bonne réponse à la question et convenablement exploiter la MG1.

On rappelle que sur le tronçon entre A’ et B’, on aura la même courbe de moment qu’entre A et B, et le même déplacement d’allure sinusoïdale, à une constante près : y_AàB(z) = y_A’àB’ (z) – y_A’

Le moment en B et B’ étant nul, on atteint en ces points le milieu de la sinusoïde. Enfin, en présence de l’encastrement parfait en 0, on atteint en ce point le maximum de la sinusoïde.

Le moment de 1^er ordre à utiliser dans la MG1 est donc le moment d’encastrement parfait en O soit M_mât,O^1er = e_mât⁰ P + H_mât.L_mât, avec

• e_mât⁰ = e_réel⁰ . L_mât/L_réel
• H_mât = H_réel
• L_mât > L_réel, on peut utiliser la formule 5g) de l’EC2 pour déterminer la longueur de flambement « l₀ »  du poteau réel, à partir de la raideur de l’encastrement poteau/longrine, puis en déduire L_mât= ½ l₀

Dans la MG1, on part donc de M_mât,O^1er, puis on détermine le point d’équilibre de la section critique du mât équivalent qui conduit à : 

                                                         {e_mât ^tot = e_mât⁰ + e_mât ^2e , M_mât,O^tot = M_mât,O^1er + M_mât,O ^2e }

avec M_mât,O ^2e = e_mât ^2e.P, M et e étant les moments et excentricités de 2^nd ordre subis dans la section (fictive) d’encastrement en O du modèle de mât.

Pour en déduire l’excentricité e_reel^tot en B dans le poteau réel, et le moment M_reel,A^tot sollicitant l’encastrement poteau sur longrine en A, 2^nd ordre compris, il faut à nouveau déterminer les « formules de passage », cette fois dans le sens retour. Il suffit de se rappeler que y_AàB(z) = y_A’àB’ (z) – y_A’. On a donc

• y_B’ = e_mât ^tot
• y_A’ = e_mât ^tot (1 – sin π/2.L_reel /L_mât)

• e_reel^tot = y_B = y_B’ - y_A’ = e_mât ^tot sin π/2.L_reel /L_mât

• M_reel,A^tot = e_mât ^tot. P. sin π/2.L_reel /L_mât + H_reel.L_reel    <    M_mât,O^tot

Bien que le moment de 2^e ordre en A, soit en pied du poteau réel, soit plus faible que le moment de 2^e ordre en O dans le modèle de mât équivalent, il convient de conserver en A le coffrage et le ferraillage de la section qui a été justifiée dans le modèle de mât équivalent en O, car l’uniformité de la section le long de l’abscisse est une hypothèse de validité de la MG1, de l’allure de la déformée et de l’équivalence entre les deux modèles.

 

Pour un cas pratique du mât encastré partiellement, voir également notre exemple ici : Calcul d’un mât selon la méthode générale de l’EC2 – paramétrage et optimisation

 

Evaluer prudamment les rigidités aux appuis

 

Une phrase indiquée discrètement dans l’EC2 §5.8.3.2 au sujet des hypothèses éventuelles de rigidités aux extrémités de poteaux présente une grande importance :

La prise en compte de rigidités aux appuis d’un poteau est favorable au calcul. Il convient donc d’approcher systématiquement de façon prudente les hypothèses de rigidités que l’on peut éventuellement prendre en compte. Un encastrement parfait est en particulier difficile à obtenir dans la réalité, l’application d’une souplesse k₁ = 0.1 conduit à augmenter de 10% la longueur de flambement par sécurité.

D’une manière plus générale, la détermination des rigidités aux appuis est nécessaire au calcul de la longueur de flambement, lorsque le poteau ne présente pas de liaisons pures (extrémité libre, rotulé ou encastrée).

L’eurocode 2 fournit des formules de calcul de ces éléments, en relation avec la figure 5.7 reproduite plus haut.

 

 

Par dérogation à l’EC2, nous privilégions ci-après la notation « s » pour exprimer une souplesse rotationnelle exprimée en rad/Nm, et la notation « k », pour exprimer une raideur rotationnelle d’une extrémité en Nm/rad, l’une étant l’invese de l’autre.

Ainsi, nous réécrivons conventionnellement l’expression de la souplesse à l’extrémité du poteau sous la forme équivalente suivante, et avec une figure illustrative :

 

 

Cette formulation fait apparaître plus explicitement la relation additive entre différents éléments résistants. k_{él résistant} peut par défaut dépendre de ϑ_{él.résistant.}

Dans le cas où l’élément résistant est assimilable à une poutre isostatique en flexion, de section constante, et travaillant dans le domaine élastique linéaire, la raideur rotationnelle est accessible à l’aide de la formule classique de la résistance des matériaux  :

On peut souvent faire l’hypothèse que dans la combinaison ELU dimensionnante de l’élément comprimé, les éléments résistants aux extrémités sont restés dans leur domaine élastique, mais c’est toutefois à vérifier pour ne pas surestimer ces contributions stabilisantes pour le poteau.

Deux remarques générales peuvent être utiles autour de l’exemple d’un mât encastré dans une poutre.

1/ Encastrement parfait mais encastrement partiel…

Nous réalisons bien un encastrement parfait entre le poteau et la poutre, qui se traduit par un encastrement partiel dans le modèle du poteau (c’est-à-dire avec une souplesse non nulle, ou une raideur non infinie). Sous l’effet d’un moment sollicitant en pied de poteau, l’angle formé entre le poteau et la poutre restera bien de 90°, mais l’angle entre l’axe du poteau à sa base et l’horizontale se modifiera selon la souplesse de la poutre.

2/ couplage déstabilisant entre le poteau et la poutre

L’encastrement partiel du poteau dans la poutre est de nature stabilisante. Cependant, cette situation crée un couplage entre les 2 éléments. Si le poteau est appuyé sur un appui de rive de la poutre, et que la poutre présente d’autres chargements, par exemple gravitaires, ce qui est probable pour une poutre, alors un effet potentiellement déstabilisant dans le poteau est à prendre en compte, semblable à une imperfection géométrique dans l’exemple du mât.

Si le poteau est stabilisé sur l’appui intermédiaire d’une poutre continu, l’effet destabilisant est moindre et doit pouvoir être négligé.

 

Le module d’élasticité du béton à utiliser pour le poteau et les éléments adjacents

 

Pour la détermination de la souplesse de l’extrémité, la formule de l’eurocode 2 suppose que le poteau reste dans son domaine de fonctionnement élastique linéaire lors de la combinaison dimensionnante ELU, et que ses caractéristiques soient constantes sur toute la longueur de l’élément, puisqu’elle manipule le module et l’inertie de flexion, à priori unique, du poteau.

Ce postulat reboucle avec la notion d’option simplifiée MG1, (supposant une section constante et élastique pour admettre une allure sinusoïdale et réduire le problème mécanique, nécessitant la détermination d’une  longueur de flambement pour connaître la période de cette sinusoïde, et dont la présente formule de la souplesse est un élément de détermination de cette longueur).

Cependant, la valeur du paramètre « E » du poteau mértie une attention particulière.

Ce n’est pas la loi de comportement moyenne ou « probable » du béton que l’on utilise, comme ce que l’on ferait à l’ELS, mais la loi de comportement sécuritaire , dite « de design », plafonnée à f_cd et non f_cm.

Si l’on doit estimer un module E, applicable dans la formule de la souplesse aux extrémités, et qui approxime au mieux notre poteau par un modèle élastique, il est intéressant d’observer le graphe ci-dessous :

 

 

Un poteau (non surdimensionné) aura de bonnes chances d’aller au-delà de son fonctionnement pseudo élastique à l’origine, caractérisé par E_cd/ (1+φ). Dans la formule de la souplesse des extrémités, il serait donc logique de prendre un module notablement inférieur.

Par souci de cohérence, c’est également la loi de comportement sécuritaire qui doit être adoptée dans l’évaluation de la rigidité des éléments résistants aux extrémités.

D’une manière générale, surestimer le module E du poteau, son inertie, et sous estimer sa fissuration et l’effet de plastification qu’il subit,  nous place du côté de la sécurité, puisque cela augmente l’évaluation de la souplesse  à ses extrémités. Nous pouvons par exemple retenir E = E_cd/ (1+φ) pour le poteau, en restant du côté de la sécurité.

En revanche, dans le cas des poutres comme éléments résistants, il est préférable de sous-estimer le module du béton pour nous placer du côté de la sécurité. En considérant l’inertie du poteau non fissurée et l’inertie des poutres fissurée, on se placera du côté de la sécurité dans l’évaluation de la longueur de flambement.

 

La prochaine partie abordera plusieurs sujets parfois "rapidement" traités comme les tolérances de chantier, les déformations de service et la justification des efforts au 2^nd ordre :

Méthode générale de l'EC2 et limites d utilisation – tolérance, aptitude au service, finalisation du calcul (4/4)